Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{2} + y^{2} + y) d x + (2 x y + x + e^{y}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + y$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + y]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2} + y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 1$

Étape 1.6

Additionnez $0$ et $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 1$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 2 x y + x + e^{y}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y + x + e^{y}]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x y + x + e^{y}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $x$ est $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 1 + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Étape 2.4.2

Comme $e^{y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $e^{y}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 1 + 0$

Étape 2.4.3

Additionnez $2 y + 1$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 1$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 y + 1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 y + 1$ .

$2 y + 1 = 2 y + 1$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$2 y + 1 = 2 y + 1$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} + y^{2} + y d x$

Étape 5

Intégrez $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + y$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int x^{2} d x + \int y^{2} d x + \int y d x$

Étape 5.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int y^{2} d x + \int y d x$

Étape 5.3

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + C + y^{2} x + C + \int y d x$

Étape 5.4

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + C + y^{2} x + C + y x + C$

Étape 5.5

Simplifiez

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + g (y)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x y + x + e^{y}$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Étape 8.2

Différenciez.

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Étape 8.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Étape 8.2.2

Comme $\frac{1}{3} x^{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y^{2} x$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + x (2 y) + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Étape 8.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$0 + 2 x y + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Étape 8.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [y x]$ .

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Étape 8.4.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y x$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 2 x y + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Étape 8.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 2 x y + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Étape 8.4.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$0 + 2 x y + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Étape 8.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 2 x y + x + \frac{d g}{d y} = 2 x y + x + e^{y}$

Étape 8.6

Simplifiez

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Étape 8.6.1

Additionnez $0$ et $2 x y$ .

$2 x y + x + \frac{d g}{d y} = 2 x y + x + e^{y}$

Étape 8.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y + x = 2 x y + x + e^{y}$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $2 x y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} + x = 2 x y + x + e^{y} - 2 x y$

Étape 9.1.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + x + e^{y} - 2 x y - x$

Étape 9.1.3

Associez les termes opposés dans $2 x y + x + e^{y} - 2 x y - x$ .

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Étape 9.1.3.1

Soustrayez $2 x y$ de $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = x + e^{y} + 0 - x$

Étape 9.1.3.2

Additionnez $x + e^{y}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = x + e^{y} - x$

Étape 9.1.3.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 + e^{y}$

Étape 9.1.3.4

Additionnez $0$ et $e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} = e^{y}$

Étape 10

Déterminez la primitive de $e^{y}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = e^{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int e^{y} d y$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int e^{y} d y$

Étape 10.3

L’intégrale de $e^{y}$ par rapport à $y$ est $e^{y}$ .

$g (y) = e^{y} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + e^{y} + C$

Étape 12

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{3} + y^{2} x + y x + e^{y} + C$