Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = 2 t y + 3 y - 4 t - 6$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez.

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Étape 1.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{d y}{d t} = (2 t y + 3 y) - 4 t - 6$

Étape 1.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{d y}{d t} = y (2 t + 3) - 2 (2 t + 3)$

Étape 1.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 t + 3$ .

$\frac{d y}{d t} = (2 t + 3) (y - 2)$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y - 2}$ .

$\frac{1}{y - 2} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 2} ((2 t + 3) (y - 2))$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $y - 2$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $y - 2$ à partir de $(2 t + 3) (y - 2)$ .

$\frac{1}{y - 2} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 2} ((y - 2) (2 t + 3))$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y - 2} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 2} ((y - 2) (2 t + 3))$

Étape 1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y - 2} \frac{d y}{d t} = 2 t + 3$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y - 2} d y = (2 t + 3) d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y - 2} d y = \int 2 t + 3 d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = y - 2$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = y - 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $y - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y - 2]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 2$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Étape 2.2.1.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int 2 t + 3 d t$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 2 t + 3 d t$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y - 2$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = \int 2 t + 3 d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = \int 2 t d t + \int 3 d t$

Étape 2.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = 2 \int t d t + \int 3 d t$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int 3 d t$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 3 t + C_{3}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{2}$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = 2 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 3 t + C_{3}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = t^{2} + 3 t + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y - 2 |) = t^{2} + 3 t + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y - 2 |)} = e^{t^{2} + 3 t + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y - 2 |) = t^{2} + 3 t + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{t^{2} + 3 t + C} = | y - 2 |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y - 2 | = e^{t^{2} + 3 t + C}$ .

$| y - 2 | = e^{t^{2} + 3 t + C}$

Étape 3.3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y - 2 = \pm e^{t^{2} + 3 t + C}$

Étape 3.3.3

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \pm e^{t^{2} + 3 t + C} + 2$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{t^{2} + 3 t + C}$ comme $e^{t^{2} + 3 t} e^{C}$ .

$y = \pm e^{t^{2} + 3 t} e^{C} + 2$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{t^{2} + 3 t}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{t^{2} + 3 t} + 2$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{t^{2} + 3 t} + 2$