Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 6 x - 5$ et $y (4) = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (6 x - 5) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 6 x - 5 d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 6 x - 5 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int 6 x d x + \int - 5 d x$

Étape 2.3.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 6 \int x d x + \int - 5 d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 5 d x$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 5 x + C_{3}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 5 x + C_{3}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

$y + C_{1} = 3 x^{2} - 5 x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = 3 x^{2} - 5 x + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $4$ et $y$ par $0$ dans $y = 3 x^{2} - 5 x + K$ .

$0 = 3 \cdot 4^{2} - 5 \cdot 4 + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $3 \cdot 4^{2} - 5 \cdot 4 + K = 0$ .

$3 \cdot 4^{2} - 5 \cdot 4 + K = 0$

Étape 4.2

Simplifiez $3 \cdot 4^{2} - 5 \cdot 4 + K$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$3 \cdot 16 - 5 \cdot 4 + K = 0$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $3$ par $16$ .

$48 - 5 \cdot 4 + K = 0$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $- 5$ par $4$ .

$48 - 20 + K = 0$

Étape 4.2.2

Soustrayez $20$ de $48$ .

$28 + K = 0$

Étape 4.3

Soustrayez $28$ des deux côtés de l’équation.

$K = - 28$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- 28$ dans $y = 3 x^{2} - 5 x + K$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- 28$ .

$y = 3 x^{2} - 5 x - 28$