Calcul infinitésimal Exemples

$x d y - (y d) x = 0$

Étape 1

Remplacez $yd$ par $y d$ .

$x d y - (y d x) = 0$

Étape 2

Ajoutez $y d x$ aux deux côtés de l’équation.

$x d y = y d x$

Étape 3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} y d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{1}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} y d x$

Étape 4.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} y d x$

Étape 4.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x y} y d x$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y x} y d x$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y x} y d x$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x} d x$

Étape 5

Intégrez les deux côtés.

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Étape 5.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 5.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 5.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 5.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (| x |) + C$

Étape 6

Résolvez $y$ .

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Étape 6.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = C$

Étape 6.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = C$

Étape 6.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{C}$

Étape 6.4

Réécrivez $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| x |}$

Étape 6.5

Résolvez $y$ .

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Étape 6.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| y |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{| x |} = e^{C}$

Étape 6.5.2

Multipliez les deux côtés par $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Étape 6.5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.3.1

Annulez le facteur commun de $| x |$ .

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Étape 6.5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Étape 6.5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| y | = e^{C} | x |$

Étape 6.5.4

Résolvez $y$ .

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Étape 6.5.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{C} | x |$ .

$| y | = | x | e^{C}$

Étape 6.5.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{C}$

Étape 7

Regroupez les termes constants.

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Étape 7.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm | x | C$

Étape 7.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C | x |$