Calcul infinitésimal Exemples

$x d y + (y + 2 y x^{2} - 2 x) d x = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Réécrivez.

$(y + 2 y x^{2} - 2 x) d x + x d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y + 2 y x^{2} - 2 x$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y + 2 y x^{2} - 2 x]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 2 y x^{2} - 2 x$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 y x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y x^{2}$ par rapport à $y$ est $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 2 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 2 x^{2} + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Étape 2.4

Comme $- 2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 2 x^{2} + 0$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Additionnez $1 + 2 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 2 x^{2}$

Étape 2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 1$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x^{2} + 1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $1$ .

$2 x^{2} + 1 = 1$

Étape 4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$2 x^{2} + 1 = 1$ n’est pas une identité.

Étape 5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 5.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x^{2} + 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 5.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 1 - 1}{N}$

Étape 5.3

Remplacez $N$ par $x$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez $N$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 1 - 1}{x}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 0}{x}$

Étape 5.3.2.2

Additionnez $2 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{2 x^{2}}{x}$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{x (2 x)}{x}$

Étape 5.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x (2 x)}{x^{1}}$

Étape 5.3.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x (2 x)}{x \cdot 1}$

Étape 5.3.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (2 x)}{x \cdot 1}$

Étape 5.3.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x}{1}$

Étape 5.3.3.2.5

Divisez $2 x$ par $1$ .

$2 x$

Étape 5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 x d x}$

Étape 6

Évaluez l’intégrale $e^{\int 2 x d x}$ .

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Étape 6.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{2 \int x d x}$

Étape 6.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Étape 6.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.3.1

Réécrivez $e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$ comme $e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2}} + C$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2}} + C$

Étape 6.3.2

Simplifiez

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Étape 6.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2}{2} x^{2}} + C$

Étape 6.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$μ (x, y) = e^{\frac{2}{2} x^{2}} + C$

Étape 6.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$μ (x, y) = e^{1 x^{2}} + C$

Étape 6.3.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$μ (x, y) = e^{x^{2}} + C$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de $(y + 2 y x^{2} - 2 x) d x + x d y = 0$ par le facteur d’intégration $e^{x^{2}}$ .

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Étape 7.1

Multipliez $y + 2 y x^{2} - 2 x$ par $e^{x^{2}}$ .

$(y + 2 y x^{2} - 2 x) e^{x^{2}} d x + x d y = 0$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$(y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}) d x + x d y = 0$

Étape 7.3

Multipliez $x$ par $e^{x^{2}}$ .

$(y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}) d x + x e^{x^{2}} d y = 0$

Étape 8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x^{2}} d y$

Étape 9

Intégrez $N (x, y) = x e^{x^{2}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 9.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y + C$

Étape 10

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y + g (x)$

Étape 11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Étape 12

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 12.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y + g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Étape 12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x e^{x^{2}} y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Étape 12.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y]$ .

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Étape 12.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x e^{x^{2}} y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Étape 12.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Étape 12.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 12.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$y (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Étape 12.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$y (x (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Étape 12.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$y (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Étape 12.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Étape 12.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Étape 12.3.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y (x^{1} x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Étape 12.3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y (x^{1} x^{1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Étape 12.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Étape 12.3.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$y (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Étape 12.3.10

Déplacez $2$ à gauche de $e^{x^{2}}$ .

$y (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Étape 12.3.11

Multipliez $e^{x^{2}}$ par $1$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Étape 12.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{d g}{d x} = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Étape 12.5

Simplifiez

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Étape 12.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + y e^{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Étape 12.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{x^{2}} x^{2} y + e^{x^{2}} y = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Étape 12.5.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d g}{d x} + 2 e^{x^{2}} x^{2} y + e^{x^{2}} y$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x^{2} y e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Étape 13

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 13.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 13.1.1

Soustrayez $2 x^{2} y e^{x^{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x^{2}} = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}} - 2 x^{2} y e^{x^{2}}$

Étape 13.1.2

Soustrayez $y e^{x^{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}} - 2 x^{2} y e^{x^{2}} - y e^{x^{2}}$

Étape 13.1.3

Associez les termes opposés dans $y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}} - 2 x^{2} y e^{x^{2}} - y e^{x^{2}}$ .

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Étape 13.1.3.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $2 y x^{2} e^{x^{2}}$ et $- 2 x^{2} y e^{x^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}} x^{2} y - 2 x e^{x^{2}} - 2 e^{x^{2}} x^{2} y - y e^{x^{2}}$

Étape 13.1.3.2

Soustrayez $2 e^{x^{2}} x^{2} y$ de $2 e^{x^{2}} x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}} + 0 - y e^{x^{2}}$

Étape 13.1.3.3

Additionnez $y e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}} - y e^{x^{2}}$

Étape 13.1.3.4

Soustrayez $y e^{x^{2}}$ de $y e^{x^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x e^{x^{2}} + 0$

Étape 13.1.3.5

Additionnez $- 2 x e^{x^{2}}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x e^{x^{2}}$

Étape 14

Déterminez la primitive de $- 2 x e^{x^{2}}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 14.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = - 2 x e^{x^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 2 x e^{x^{2}} d x$

Étape 14.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - 2 x e^{x^{2}} d x$

Étape 14.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = - 2 \int x e^{x^{2}} d x$

Étape 14.4

Laissez $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Alors $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 14.4.1

Laissez $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 14.4.1.1

Différenciez $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Étape 14.4.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 14.4.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 14.4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 14.4.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 14.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Étape 14.4.1.4

Simplifiez

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Étape 14.4.1.4.1

Réorganisez les facteurs de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Étape 14.4.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Étape 14.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$g (x) = - 2 \int \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 14.5

Appliquez la règle de la constante.

$g (x) = - 2 (\frac{1}{2} u_{2} + C)$

Étape 14.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 14.6.1

Réécrivez $- 2 (\frac{1}{2} u_{2} + C)$ comme $- 2 (\frac{1}{2}) u_{2} + C$ .

$g (x) = - 2 (\frac{1}{2}) u_{2} + C$

Étape 14.6.2

Simplifiez

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Étape 14.6.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{- 2}{2} u_{2} + C$

Étape 14.6.2.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 14.6.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2} u_{2} + C$

Étape 14.6.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.6.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} u_{2} + C$

Étape 14.6.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} u_{2} + C$

Étape 14.6.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$g (x) = \frac{- 1}{1} u_{2} + C$

Étape 14.6.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$g (x) = - u_{2} + C$

Étape 14.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{x^{2}}$ .

$g (x) = - e^{x^{2}} + C$

Étape 15

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = x e^{x^{2}} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - e^{x^{2}} + C$

Étape 16

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = x e^{x^{2}} y - e^{x^{2}} + C$ .

$f (x, y) = x y e^{x^{2}} - e^{x^{2}} + C$