Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + \frac{11}{x} y = 3 x^{2}$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{11}{x}$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{11}{x} d x}$

Étape 1.2

Intégrez $\frac{11}{x}$ .

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Étape 1.2.1

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , placez $11$ en dehors de l’intégrale.

$e^{11 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 1.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{11 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez

$e^{11 \ln (| x |) + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{11 \ln (x)}$

Étape 1.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{11})}$

Étape 1.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{11}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $x^{11}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $x^{11}$ .

$x^{11} \frac{d y}{d x} + x^{11} (\frac{11}{x} y) = x^{11} (3 x^{2})$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Associez $\frac{11}{x}$ et $y$ .

$x^{11} \frac{d y}{d x} + x^{11} \frac{11 y}{x} = x^{11} (3 x^{2})$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{11}$ .

$x^{11} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{10} \frac{11 y}{x} = x^{11} (3 x^{2})$

Étape 2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{11} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{10} \frac{11 y}{x} = x^{11} (3 x^{2})$

Étape 2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{11} \frac{d y}{d x} + x^{10} (11 y) = x^{11} (3 x^{2})$

Étape 2.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{11} \frac{d y}{d x} + 11 x^{10} y = x^{11} (3 x^{2})$

Étape 2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{11} \frac{d y}{d x} + 11 x^{10} y = 3 x^{11} x^{2}$

Étape 2.4

Multipliez $x^{11}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{11} \frac{d y}{d x} + 11 x^{10} y = 3 (x^{2} x^{11})$

Étape 2.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{11} \frac{d y}{d x} + 11 x^{10} y = 3 x^{2 + 11}$

Étape 2.4.3

Additionnez $2$ et $11$ .

$x^{11} \frac{d y}{d x} + 11 x^{10} y = 3 x^{13}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x^{11} y] = 3 x^{13}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x^{11} y] d x = \int 3 x^{13} d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$x^{11} y = \int 3 x^{13} d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$x^{11} y = 3 \int x^{13} d x$

Étape 6.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{13}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{14} x^{14}$ .

$x^{11} y = 3 (\frac{1}{14} x^{14} + C)$

Étape 6.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.3.1

Réécrivez $3 (\frac{1}{14} x^{14} + C)$ comme $3 (\frac{1}{14}) x^{14} + C$ .

$x^{11} y = 3 (\frac{1}{14}) x^{14} + C$

Étape 6.3.2

Associez $3$ et $\frac{1}{14}$ .

$x^{11} y = \frac{3}{14} x^{14} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $x^{11} y = \frac{3}{14} x^{14} + C$ par $x^{11}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $x^{11} y = \frac{3}{14} x^{14} + C$ par $x^{11}$ .

$\frac{x^{11} y}{x^{11}} = \frac{\frac{3}{14} x^{14}}{x^{11}} + \frac{C}{x^{11}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{11}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{11} y}{x^{11}} = \frac{\frac{3}{14} x^{14}}{x^{11}} + \frac{C}{x^{11}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{3}{14} x^{14}}{x^{11}} + \frac{C}{x^{11}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{14}$ et $x^{11}$ .

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Étape 7.3.1.1.1

Factorisez $x^{11}$ à partir de $\frac{3}{14} x^{14}$ .

$y = \frac{x^{11} (\frac{3}{14} x^{3})}{x^{11}} + \frac{C}{x^{11}}$

Étape 7.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.1.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{x^{11} (\frac{3}{14} x^{3})}{x^{11} \cdot 1} + \frac{C}{x^{11}}$

Étape 7.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{11} (\frac{3}{14} x^{3})}{x^{11} \cdot 1} + \frac{C}{x^{11}}$

Étape 7.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\frac{3}{14} x^{3}}{1} + \frac{C}{x^{11}}$

Étape 7.3.1.1.2.4

Divisez $\frac{3}{14} x^{3}$ par $1$ .

$y = \frac{3}{14} x^{3} + \frac{C}{x^{11}}$

Étape 7.3.1.2

Associez $\frac{3}{14}$ et $x^{3}$ .

$y = \frac{3 x^{3}}{14} + \frac{C}{x^{11}}$