Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d R}{d t} = \frac{60}{t^{2}}$ , $R (1) = 20$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d R = \frac{60}{t^{2}} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d R = \int \frac{60}{t^{2}} d t$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$R + C_{1} = \int \frac{60}{t^{2}} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $60$ est constant par rapport à $t$ , placez $60$ en dehors de l’intégrale.

$R + C_{1} = 60 \int \frac{1}{t^{2}} d t$

Étape 2.3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.2.1

Retirez $t^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$R + C_{1} = 60 \int {(t^{2})}^{- 1} d t$

Étape 2.3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$R + C_{1} = 60 \int t^{2 \cdot - 1} d t$

Étape 2.3.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$R + C_{1} = 60 \int t^{- 2} d t$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{- 2}$ par rapport à $t$ est $- t^{- 1}$ .

$R + C_{1} = 60 (- t^{- 1} + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez $60 (- t^{- 1} + C_{2})$ comme $60 (- \frac{1}{t}) + C_{2}$ .

$R + C_{1} = 60 (- \frac{1}{t}) + C_{2}$

Étape 2.3.4.2

Simplifiez

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Étape 2.3.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $60$ .

$R + C_{1} = - 60 \frac{1}{t} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.2

Associez $- 60$ et $\frac{1}{t}$ .

$R + C_{1} = \frac{- 60}{t} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$R + C_{1} = - \frac{60}{t} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$R = - \frac{60}{t} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $t$ par $1$ et $R$ par $20$ dans $R = - \frac{60}{t} + K$ .

$20 = - \frac{60}{1} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{60}{1} + K = 20$ .

$- \frac{60}{1} + K = 20$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Divisez $60$ par $1$ .

$- 1 \cdot 60 + K = 20$

Étape 4.2.2

Multipliez $- 1$ par $60$ .

$- 60 + K = 20$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Ajoutez $60$ aux deux côtés de l’équation.

$K = 20 + 60$

Étape 4.3.2

Additionnez $20$ et $60$ .

$K = 80$

Étape 5

Remplacez $K$ par $80$ dans $R = - \frac{60}{t} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $80$ .

$R = - \frac{60}{t} + 80$