Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 20 - 4 x - 5 y + x y$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{d y}{d x} = (20 - 4 x) - 5 y + x y$

Étape 1.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{d y}{d x} = 4 (5 - x) - y (5 - x)$

Étape 1.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 - x$ .

$\frac{d y}{d x} = (5 - x) (4 - y)$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{4 - y}$ .

$\frac{1}{4 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 - y} ((5 - x) (4 - y))$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $4 - y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Factorisez $4 - y$ à partir de $(5 - x) (4 - y)$ .

$\frac{1}{4 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 - y} ((4 - y) (5 - x))$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 - y} ((4 - y) (5 - x))$

Étape 1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4 - y} \frac{d y}{d x} = 5 - x$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{4 - y} d y = (5 - x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{4 - y} d y = \int 5 - x d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Laissez $u = 4 - y$ . Alors $d u = - d y$ , donc $- d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Laissez $u = 4 - y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 2.2.1.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int 5 - x d x$

Étape 2.2.2

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int 5 - x d x$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int 5 - x d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 5 - x d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int 5 - x d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 - y$ .

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = \int 5 - x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = \int 5 d x + \int - x d x$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = 5 x + C_{2} + \int - x d x$

Étape 2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = 5 x + C_{2} - \int x d x$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = 5 x + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = 5 x - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \ln (| 4 - y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (| 4 - y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (| 4 - y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 4 - y |)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln (| 4 - y |)}{1} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.2.2

Divisez $\ln (| 4 - y |)$ par $1$ .

$\ln (| 4 - y |) = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\ln (| 4 - y |) = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.2

Divisez $\frac{1}{2} x^{2}$ par $1$ .

$\ln (| 4 - y |) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{5 x}{- 1}$ .

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - 1 \cdot (5 x) + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.5

Réécrivez $- 1 \cdot (5 x)$ comme $- (5 x)$ .

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - (5 x) + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.6

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - 5 x + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.7

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - 5 x - 1 \cdot C$

Étape 3.1.3.1.8

Réécrivez $- 1 \cdot C$ comme $- C$ .

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - 5 x - C$

Étape 3.2

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 4 - y |)} = e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}$

Étape 3.3

Réécrivez $\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - 5 x - C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C} = | 4 - y |$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $| 4 - y | = e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}$ .

$| 4 - y | = e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}$

Étape 3.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$4 - y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}$

Étape 3.4.3

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C} - 4$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $- y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C} - 4$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $- y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C} - 4$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Étape 3.4.4.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Étape 3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.3.1

Pour écrire $\frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Étape 3.4.4.3.2

Pour écrire $\frac{- 4}{- 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 4}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.4.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $1$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.3.3.1

Multipliez $\frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1}$ par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) \cdot - 1}{- - 1} + \frac{- 4}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.4.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 4}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.4.3.3.3

Multipliez $\frac{- 4}{- 1}$ par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 4 \cdot - 1}{- - 1}$

Étape 3.4.4.3.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 4 \cdot - 1}{1}$

Étape 3.4.4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{(\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) \cdot - 1 - 4 \cdot - 1}{1}$

Étape 3.4.4.3.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.3.5.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) - 4 \cdot - 1}{1}$

Étape 3.4.4.3.5.2

Réécrivez $- 1 (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C})$ comme $- (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C})$ .

$y = \frac{- (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) - 4 \cdot - 1}{1}$

Étape 3.4.4.3.5.3

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{- (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) + 4}{1}$

Étape 3.4.4.3.6

Divisez $- (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) + 4$ par $1$ .

$y = - (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) + 4$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = - (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x + C}) + 4$

Étape 4.2

Réécrivez $e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x + C}$ comme $e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x} e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x} e^{C}) + 4$

Étape 4.3

Remettez dans l’ordre $e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x}$ et $e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x}) + 4$

Étape 4.4

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = - (C e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x}) + 4$