Calcul infinitésimal Exemples

$x (f {(x)}^{3}) \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Simplifiez

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Étape 1.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f (x^{1} x^{3}) \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

Étape 1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f x^{1 + 3} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

Étape 1.1.1.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$f x^{4} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $f x^{4} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$ par $f x^{4}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $f x^{4} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$ par $f x^{4}$ .

$\frac{f x^{4} \frac{d y}{d x}}{f x^{4}} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $f$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{f x^{4} \frac{d y}{d x}}{f x^{4}} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{4} \frac{d y}{d x}}{x^{4}} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

Étape 1.1.2.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 1.1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{4} \frac{d y}{d x}}{x^{4}} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

Étape 1.1.2.2.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

Étape 1.2

Réécrivez l’équation.

$d y = \frac{\ln (x)}{f x^{4}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{\ln (x)}{f x^{4}} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{f x^{4}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{1}{f}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{f}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{f} \int \frac{\ln (x)}{x^{4}} d x$

Étape 2.3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.2.1

Retirez $x^{4}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} \int \ln (x) {(x^{4})}^{- 1} d x$

Étape 2.3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} \int \ln (x) x^{4 \cdot - 1} d x$

Étape 2.3.2.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} \int \ln (x) x^{- 4} d x$

Étape 2.3.3

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = x^{- 4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (\ln (x) (- \frac{1}{3 x^{3}}) - \int - \frac{1}{3 x^{3}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Étape 2.3.4

Simplifiez

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Étape 2.3.4.1

Associez $\ln (x)$ et $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 x^{3}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Étape 2.3.4.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{x (3 x^{3})} d x)$

Étape 2.3.4.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 (x^{1} x^{3})} d x)$

Étape 2.3.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 x^{1 + 3}} d x)$

Étape 2.3.4.5

Additionnez $1$ et $3$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 x^{4}} d x)$

Étape 2.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - - \int \frac{1}{3 x^{4}} d x)$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + 1 \int \frac{1}{3 x^{4}} d x)$

Étape 2.3.6.2

Multipliez $\int \frac{1}{3 x^{4}} d x$ par $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \int \frac{1}{3 x^{4}} d x)$

Étape 2.3.7

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{4}} d x)$

Étape 2.3.8

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.8.1

Retirez $x^{4}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int {(x^{4})}^{- 1} d x)$

Étape 2.3.8.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.8.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int x^{4 \cdot - 1} d x)$

Étape 2.3.8.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int x^{- 4} d x)$

Étape 2.3.9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C_{2}))$

Étape 2.3.10

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.10.1

Simplifiez

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Étape 2.3.10.1.1

Associez $x^{- 3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{x^{- 3}}{3} + C_{2}))$

Étape 2.3.10.1.2

Placez $x^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{2}))$

Étape 2.3.10.2

Réécrivez $\frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{2}))$ comme $\frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}}) + C_{2}$

Étape 2.3.11

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}}) \frac{1}{f} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}}) \frac{1}{f} + K$