Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d q}{d t} + q = 4 \cos (2 t)$ , $q (0) = 1$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (t) d t}$ , où $P (t) = 1$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int d t}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{t + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{t}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{t}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{t}$ .

$e^{t} \frac{d q}{d t} + e^{t} q = e^{t} (4 \cos (2 t))$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{t} \frac{d q}{d t} + e^{t} q = 4 e^{t} \cos (2 t)$

Étape 2.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{t} \frac{d q}{d t} + e^{t} q = 4 e^{t} \cos (2 t)$ .

$e^{t} \frac{d q}{d t} + q e^{t} = 4 e^{t} \cos (2 t)$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d t} [e^{t} q] = 4 e^{t} \cos (2 t)$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} q] d t = \int 4 e^{t} \cos (2 t) d t$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{t} q = \int 4 e^{t} \cos (2 t) d t$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$e^{t} q = 4 \int e^{t} \cos (2 t) d t$

Étape 6.2

Remettez dans l’ordre $e^{t}$ et $\cos (2 t)$ .

$e^{t} q = 4 \int \cos (2 t) e^{t} d t$

Étape 6.3

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \cos (2 t)$ et $d v = e^{t}$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} - \int e^{t} (- 2 \sin (2 t)) d t)$

Étape 6.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} - (- 2 \int e^{t} (\sin (2 t)) d t))$

Étape 6.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.5.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 \int e^{t} (\sin (2 t)) d t)$

Étape 6.5.2

Remettez dans l’ordre $e^{t}$ et $\sin (2 t)$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 \int \sin (2 t) e^{t} d t)$

Étape 6.6

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \sin (2 t)$ et $d v = e^{t}$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t} - \int e^{t} (2 \cos (2 t)) d t))$

Étape 6.7

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t} - (2 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t)))$

Étape 6.8

Simplifiez en multipliant.

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Étape 6.8.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t} - 2 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t))$

Étape 6.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t}) + 2 (- 2 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t))$

Étape 6.8.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t}) - 4 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t)$

Étape 6.9

En résolvant $\int e^{t} \cos (2 t) d t$ , nous trouvons que $\int e^{t} \cos (2 t) d t$ = $\frac{\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t})}{5}$ .

$e^{t} q = 4 (\frac{\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t})}{5} + C)$

Étape 6.10

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.10.1

Réécrivez $4 (\frac{\cos (2 t) e^{t} + 2 \sin (2 t) e^{t}}{5} + C)$ comme $4 \frac{e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{5} + C$ .

$e^{t} q = 4 \frac{e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{5} + C$

Étape 6.10.2

Simplifiez

$e^{t} q = \frac{4}{5} e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{t} q = \frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))) + C$ par $e^{t}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{t} q = \frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))) + C$ par $e^{t}$ .

$\frac{e^{t} q}{e^{t}} = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{t}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{t} q}{e^{t}} = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $q$ par $1$ .

$q = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun de $e^{t}$ .

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Étape 7.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$q = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Étape 7.3.1.1.2

Divisez $\frac{4}{5} \cdot (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))$ par $1$ .

$q = \frac{4}{5} \cdot (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) + \frac{C}{e^{t}}$

Étape 7.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$q = \frac{4}{5} \cos (2 t) + \frac{4}{5} (2 \sin (2 t)) + \frac{C}{e^{t}}$

Étape 7.3.1.3

Associez $\frac{4}{5}$ et $\cos (2 t)$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{4}{5} (2 \sin (2 t)) + \frac{C}{e^{t}}$

Étape 7.3.1.4

Multipliez $\frac{4}{5} (2 \sin (2 t))$ .

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Étape 7.3.1.4.1

Associez $2$ et $\frac{4}{5}$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{2 \cdot 4}{5} \sin (2 t) + \frac{C}{e^{t}}$

Étape 7.3.1.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8}{5} \sin (2 t) + \frac{C}{e^{t}}$

Étape 7.3.1.4.3

Associez $\frac{8}{5}$ et $\sin (2 t)$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{C}{e^{t}}$

Étape 8

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $t$ par $0$ et $q$ par $1$ dans $q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{C}{e^{t}}$ .

$1 = \frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}}$

Étape 9

Résolvez $C$ .

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Étape 9.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$ .

$\frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Simplifiez $\frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}}$ .

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Étape 9.2.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 \cos (2 \cdot 0) + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Étape 9.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{4 \cos (0) + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Étape 9.2.1.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{4 \cdot 1 + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Étape 9.2.1.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{4 + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Étape 9.2.1.2.4

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{4 + 8 \sin (0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Étape 9.2.1.2.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{4 + 8 \cdot 0}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Étape 9.2.1.2.6

Multipliez $8$ par $0$ .

$\frac{4 + 0}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Étape 9.2.1.3

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{4}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Étape 9.2.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.4.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{4}{5} + \frac{C}{1} = 1$

Étape 9.2.1.4.2

Divisez $C$ par $1$ .

$\frac{4}{5} + C = 1$

Étape 9.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.3.1

Soustrayez $\frac{4}{5}$ des deux côtés de l’équation.

$C = 1 - \frac{4}{5}$

Étape 9.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$C = \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

Étape 9.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$C = \frac{5 - 4}{5}$

Étape 9.3.4

Soustrayez $4$ de $5$ .

$C = \frac{1}{5}$

Étape 10

Remplacez $C$ par $\frac{1}{5}$ dans $q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{C}{e^{t}}$ et simplifiez.

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Étape 10.1

Remplacez $C$ par $\frac{1}{5}$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{\frac{1}{5}}{e^{t}}$

Étape 10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{e^{t}}$

Étape 10.2.2

Associez.

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{1 \cdot 1}{5 e^{t}}$

Étape 10.2.3

Multipliez $1$ par $1$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{1}{5 e^{t}}$