Calcul infinitésimal Exemples

$y \frac{d y}{d x} - (1 + y) x^{2} = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y \frac{d y}{d x} + (- 1 \cdot 1 - y) x^{2} = 0$

Étape 1.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y \frac{d y}{d x} + (- 1 - y) x^{2} = 0$

Étape 1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y \frac{d y}{d x} - 1 x^{2} - y x^{2} = 0$

Étape 1.1.1.4

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$y \frac{d y}{d x} - x^{2} - y x^{2} = 0$

Étape 1.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d y}{d x}$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Ajoutez $x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$y \frac{d y}{d x} - y x^{2} = x^{2}$

Étape 1.1.2.2

Ajoutez $y x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y x^{2}$

Étape 1.1.3

Divisez chaque terme dans $y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y x^{2}$ par $y$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y x^{2}$ par $y$ .

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

Étape 1.1.3.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.3.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y} + x^{2}$

Étape 1.2

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $\frac{x^{2}}{y} + x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $\frac{x^{2}}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \frac{1}{y} + x^{2}$

Étape 1.2.1.2

Multipliez par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \frac{1}{y} + x^{2} \cdot 1$

Étape 1.2.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} \frac{1}{y} + x^{2} \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (\frac{1}{y} + 1)$

Étape 1.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (\frac{1}{y} + \frac{y}{y})$

Étape 1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \frac{1 + y}{y}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{y}{1 + y}$ .

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y} (x^{2} \frac{1 + y}{y})$

Étape 1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1 + y}{y}$ .

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y} \cdot \frac{x^{2} (1 + y)}{y}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y} \cdot \frac{x^{2} (1 + y)}{y}$

Étape 1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} (x^{2} (1 + y))$

Étape 1.4.3

Annulez le facteur commun de $1 + y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.1

Factorisez $1 + y$ à partir de $x^{2} (1 + y)$ .

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x^{2})$

Étape 1.4.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x^{2})$

Étape 1.4.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{y}{1 + y} d y = x^{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y}{1 + y} d y = \int x^{2} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Remettez dans l’ordre $1$ et $y$ .

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.2

Divisez $y$ par $y + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

Étape 2.2.2.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $y$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $y$ .

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Étape 2.2.2.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

Étape 2.2.2.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $y + 1$

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

Étape 2.2.2.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

Étape 2.2.2.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.4

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.6

Laissez $u = y + 1$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.6.1

Laissez $u = y + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.6.1.1

Différenciez $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Étape 2.2.6.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.6.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.6.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.7

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.8

Simplifiez

$y - \ln (| u |) + C_{3} = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{2} d x$

Étape 2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y - \ln (| y + 1 |) = \frac{1}{3} x^{3} + C$