Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{14 x y}{\ln^{10} (y)}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = 14 x \frac{y}{\ln^{10} (y)}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{\ln^{10} (y)}{y}$ .

$\frac{\ln^{10} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln^{10} (y)}{y} (14 x \frac{y}{\ln^{10} (y)})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\ln^{10} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = 14 \frac{\ln^{10} (y)}{y} (x \frac{y}{\ln^{10} (y)})$

Étape 1.3.2

Associez $14$ et $\frac{\ln^{10} (y)}{y}$ .

$\frac{\ln^{10} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{14 \ln^{10} (y)}{y} (x \frac{y}{\ln^{10} (y)})$

Étape 1.3.3

Associez $x$ et $\frac{y}{\ln^{10} (y)}$ .

$\frac{\ln^{10} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{14 \ln^{10} (y)}{y} \cdot \frac{x y}{\ln^{10} (y)}$

Étape 1.3.4

Associez.

$\frac{\ln^{10} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{14 \ln^{10} (y) (x y)}{y \ln^{10} (y)}$

Étape 1.3.5

Annulez le facteur commun de $\ln^{10} (y)$ .

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Étape 1.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln^{10} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{14 \ln^{10} (y) (x y)}{y \ln^{10} (y)}$

Étape 1.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln^{10} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{14 (x y)}{y}$

Étape 1.3.6

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln^{10} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{14 (x y)}{y}$

Étape 1.3.6.2

Divisez $14 (x)$ par $1$ .

$\frac{\ln^{10} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = 14 (x)$

$\frac{\ln^{10} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = 14 x$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{\ln^{10} (y)}{y} d y = 14 x d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{\ln^{10} (y)}{y} d y = \int 14 x d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = \ln (y)$ . Alors $d u = \frac{1}{y} d y$ , donc $y d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = \ln (y)$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Étape 2.2.1.1.2

La dérivée de $\ln (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{10} d u = \int 14 x d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{10}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{11} u^{11}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C_{1} = \int 14 x d x$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (y)$ .

$\frac{1}{11} \ln^{11} (y) + C_{1} = \int 14 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , placez $14$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{11} \ln^{11} (y) + C_{1} = 14 \int x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{11} \ln^{11} (y) + C_{1} = 14 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $14 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ comme $14 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{11} \ln^{11} (y) + C_{1} = 14 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Associez $14$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{11} \ln^{11} (y) + C_{1} = \frac{14}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun à $14$ et $2$ .

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Étape 2.3.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $14$ .

$\frac{1}{11} \ln^{11} (y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 7}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{11} \ln^{11} (y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 7}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{11} \ln^{11} (y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{11} \ln^{11} (y) + C_{1} = \frac{7}{1} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2.4

Divisez $7$ par $1$ .

$\frac{1}{11} \ln^{11} (y) + C_{1} = 7 x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{11} \ln^{11} (y) = 7 x^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $11$ .

$11 (\frac{1}{11} \ln^{11} (y)) = 11 (7 x^{2} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $11 (\frac{1}{11} \ln^{11} (y))$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{11}$ et $\ln^{11} (y)$ .

$11 \frac{\ln^{11} (y)}{11} = 11 (7 x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $11$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$11 \frac{\ln^{11} (y)}{11} = 11 (7 x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln^{11} (y) = 11 (7 x^{2} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $11 (7 x^{2} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln^{11} (y) = 11 (7 x^{2}) + 11 K$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $7$ par $11$ .

$\ln^{11} (y) = 77 x^{2} + 11 K$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\ln (y) = \sqrt[11]{77 x^{2} + 11 K}$

Étape 3.3.2

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (y)} = e^{\sqrt[11]{77 x^{2} + 11 K}}$

Étape 3.3.3

Réécrivez $\ln (y) = \sqrt[11]{77 x^{2} + 11 K}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\sqrt[11]{77 x^{2} + 11 K}} = y$

Étape 3.3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.4.1

Réécrivez l’équation comme $y = e^{\sqrt[11]{77 x^{2} + 11 K}}$ .

$y = e^{\sqrt[11]{77 x^{2} + 11 K}}$

Étape 3.3.4.2

Factorisez $11$ à partir de $77 x^{2} + 11 K$ .

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Étape 3.3.4.2.1

Factorisez $11$ à partir de $77 x^{2}$ .

$y = e^{\sqrt[11]{11 (7 x^{2}) + 11 K}}$

Étape 3.3.4.2.2

Factorisez $11$ à partir de $11 (7 x^{2}) + 11 K$ .

$y = e^{\sqrt[11]{11 (7 x^{2} + K)}}$