Calcul infinitésimal Exemples

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} - 2 x y = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} - 2 x y = 0$

Étape 1.1.1.2

Multipliez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} - 2 x y = 0$

Étape 1.1.2

Ajoutez $2 x y$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} = 2 x y$

Étape 1.1.3

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $\frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.3.1

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + x^{2} \frac{d y}{d x} = 2 x y$

Étape 1.1.3.2

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} x^{2} = 2 x y$

Étape 1.1.3.3

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 2 x y$

Étape 1.1.4

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 2 x y$ par $1 + x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.4.1

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 2 x y$ par $1 + x^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{2 x y}{1 + x^{2}}$

Étape 1.1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.4.2.1

Annulez le facteur commun de $1 + x^{2}$ .

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Étape 1.1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{2 x y}{1 + x^{2}}$

Étape 1.1.4.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{1 + x^{2}}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + x^{2}} y$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{2 x}{1 + x^{2}} y)$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $y$ à partir de $\frac{2 x}{1 + x^{2}} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{2 x}{1 + x^{2}})$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{2 x}{1 + x^{2}})$

Étape 1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + x^{2}}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u = 1 + x^{2}$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = 1 + x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Étape 2.3.2.1.5

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$2 x$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 2.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.5.3

Multipliez $\int \frac{1}{u} d u$ par $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Étape 2.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) - \ln (| 1 + x^{2} |) = C$

Étape 3.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}) = C$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |})} = e^{C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} = e^{C}$

Étape 3.5.2

Multipliez les deux côtés par $| 1 + x^{2} |$ .

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{C} | 1 + x^{2} |$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.3.1

Annulez le facteur commun de $| 1 + x^{2} |$ .

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Étape 3.5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{C} | 1 + x^{2} |$

Étape 3.5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| y | = e^{C} | 1 + x^{2} |$

Étape 3.5.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{C} | 1 + x^{2} |$ .

$| y | = | 1 + x^{2} | e^{C}$

Étape 3.5.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | 1 + x^{2} | e^{C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm | 1 + x^{2} | C$

Étape 4.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C | 1 + x^{2} |$