Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - y x = x$ , $y (0) = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Ajoutez $y x$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} = x + y x$

Étape 1.2

Factorisez $x$ à partir de $x + y x$ .

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Étape 1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{1} + y x$

Étape 1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 1 + y x$

Étape 1.2.3

Factorisez $x$ à partir de $y x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 1 + x y$

Étape 1.2.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x y$ .

$\frac{d y}{d x} = x (1 + y)$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{1 + y}$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} (x (1 + y))$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $1 + y$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $1 + y$ à partir de $x (1 + y)$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x)$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x)$

Étape 1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = x$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{1 + y} d y = x d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int x d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = 1 + y$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = 1 + y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.1.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int x d x$

Étape 2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| 1 + y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 1 + y |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| 1 + y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C} = | 1 + y |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| 1 + y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$ .

$| 1 + y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Étape 3.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$| 1 + y | = e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Étape 3.3.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$1 + y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Étape 3.3.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C} - 1$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$ comme $e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C} - 1$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$

Étape 5

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $0$ dans $y = C e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$ .

$0 = C e^{\frac{0^{2}}{2}} - 1$

Étape 6

Résolvez $C$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $C e^{\frac{0^{2}}{2}} - 1 = 0$ .

$C e^{\frac{0^{2}}{2}} - 1 = 0$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$C e^{\frac{0}{2}} - 1 = 0$

Étape 6.2.2

Divisez $0$ par $2$ .

$C e^{0} - 1 = 0$

Étape 6.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$C \cdot 1 - 1 = 0$

Étape 6.2.4

Multipliez $C$ par $1$ .

$C - 1 = 0$

Étape 6.3

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$C = 1$

Étape 7

Remplacez $C$ par $1$ dans $y = C e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $C$ par $1$ .

$y = 1 e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$

Étape 7.2

Multipliez $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ par $1$ .

$y = e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$