Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d x}{d y} = 2 y + x + 3$

Étape 1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d x}{d y} - x = 2 y + 3$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (y) d y}$ , où $P (y) = - 1$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 1 d y}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{- y + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- y}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- y}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{- y}$ .

$e^{- y} \frac{d x}{d y} + e^{- y} (- x) = e^{- y} (2 y) + e^{- y} \cdot 3$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = e^{- y} (2 y) + e^{- y} \cdot 3$

Étape 3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = 2 e^{- y} y + e^{- y} \cdot 3$

Étape 3.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $e^{- y}$ .

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = 2 e^{- y} y + 3 e^{- y}$

Étape 3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = 2 e^{- y} y + 3 e^{- y}$ .

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - x e^{- y} = 2 y e^{- y} + 3 e^{- y}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x] = 2 y e^{- y} + 3 e^{- y}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d y} [e^{- y} x] d y = \int 2 y e^{- y} + 3 e^{- y} d y$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{- y} x = \int 2 y e^{- y} + 3 e^{- y} d y$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$e^{- y} x = \int 2 y e^{- y} d y + \int 3 e^{- y} d y$

Étape 7.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- y} x = 2 \int y e^{- y} d y + \int 3 e^{- y} d y$

Étape 7.3

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = y$ et $d v = e^{- y}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

Étape 7.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

Étape 7.5

Simplifiez

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Étape 7.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

Étape 7.5.2

Multipliez $\int e^{- y} d y$ par $1$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

Étape 7.6

Laissez $u_{1} = - y$ . Alors $d u_{1} = - d y$ , donc $- d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 7.6.1

Laissez $u_{1} = - y$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 7.6.1.1

Différenciez $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Étape 7.6.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Étape 7.6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 7.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 7.6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 3 e^{- y} d y$

Étape 7.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 3 e^{- y} d y$

Étape 7.8

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int 3 e^{- y} d y$

Étape 7.9

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + 3 \int e^{- y} d y$

Étape 7.10

Laissez $u_{2} = - y$ . Alors $d u_{2} = - d y$ , donc $- d u_{2} = d y$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 7.10.1

Laissez $u_{2} = - y$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Étape 7.10.1.1

Différenciez $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Étape 7.10.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Étape 7.10.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 7.10.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 7.10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + 3 \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 7.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + 3 (- \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Étape 7.12

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) - 3 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 7.13

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) - 3 (e^{u_{2}} + C)$

Étape 7.14

Simplifiez

$e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{u_{1}}) - 3 e^{u_{2}} + C$

Étape 7.15

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 7.15.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- y$ .

$e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{u_{2}} + C$

Étape 7.15.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- y$ .

$e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C$ par $e^{- y}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C$ par $e^{- y}$ .

$\frac{e^{- y} x}{e^{- y}} = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y})}{e^{- y}} + \frac{- 3 e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- y}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- y} x}{e^{- y}} = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y})}{e^{- y}} + \frac{- 3 e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y})}{e^{- y}} + \frac{- 3 e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Étape 8.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{2 (- y e^{- y}) + 2 (- e^{- y}) - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Étape 8.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x = \frac{- 2 (y e^{- y}) + 2 (- e^{- y}) - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Étape 8.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x = \frac{- 2 y e^{- y} - 2 e^{- y} - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Étape 8.3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 8.3.3.1

Soustrayez $3 e^{- y}$ de $- 2 e^{- y}$ .

$x = \frac{- 2 y e^{- y} - 5 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Étape 8.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 y e^{- y}$ .

$x = \frac{- (2 y e^{- y}) - 5 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Étape 8.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 e^{- y}$ .

$x = \frac{- (2 y e^{- y}) - (5 e^{- y}) + C}{e^{- y}}$

Étape 8.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 y e^{- y}) - (5 e^{- y})$ .

$x = \frac{- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y}) + C}{e^{- y}}$

Étape 8.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $C$ .

$x = \frac{- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y}) - 1 (- C)}{e^{- y}}$

Étape 8.3.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y}) - 1 (- C)$ .

$x = \frac{- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)}{e^{- y}}$

Étape 8.3.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.3.3.7.1

Réécrivez $- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)$ comme $- 1 (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)$ .

$x = \frac{- 1 (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)}{e^{- y}}$

Étape 8.3.3.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C}{e^{- y}}$