Calcul infinitésimal Exemples

$(2 x + 2 y + 2) d x + (2 x - 2 y^{2} + 6) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 x + 2 y + 2$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + 2 y + 2]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 2 y + 2$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [2]$

Étape 1.2.2

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [2]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 + \frac{d}{d y} [2]$

Étape 1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 + 0$

Étape 1.5

Associez des termes.

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Étape 1.5.1

Additionnez $0$ et $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 0$

Étape 1.5.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 2 x - 2 y^{2} + 6$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x - 2 y^{2} + 6]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 2 y^{2} + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 2 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.4.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 + 0$

Étape 2.5

Associez des termes.

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Étape 2.5.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2$ .

$2 = 2$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$2 = 2$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x + 2 y + 2 d x$

Étape 5

Intégrez $M (x, y) = 2 x + 2 y + 2$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int 2 x d x + \int 2 y d x + \int 2 d x$

Étape 5.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 2 \int x d x + \int 2 y d x + \int 2 d x$

Étape 5.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 y d x + \int 2 d x$

Étape 5.4

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 y x + C + \int 2 d x$

Étape 5.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 y x + C + \int 2 d x$

Étape 5.6

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 y x + C + 2 x + C$

Étape 5.7

Simplifiez

$f (x, y) = x^{2} + 2 y x + 2 x + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + 2 y x + 2 x + g (y)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} + 2 y x + 2 x + g (y)] = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Étape 8.2

Différenciez.

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Étape 8.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 y x + 2 x + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y x] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y x] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Étape 8.2.2

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [2 y x] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 y x]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y x$ par rapport à $y$ est $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Étape 8.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$0 + 2 x + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Étape 8.4

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + 2 x + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Étape 8.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 2 x + 0 + \frac{d g}{d y} = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Étape 8.6

Simplifiez

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Étape 8.6.1

Associez des termes.

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Étape 8.6.1.1

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$2 x + 0 + \frac{d g}{d y} = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Étape 8.6.1.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x + \frac{d g}{d y} = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Étape 8.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + 2 x = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = 2 x - 2 y^{2} + 6 - 2 x$

Étape 9.1.2

Associez les termes opposés dans $2 x - 2 y^{2} + 6 - 2 x$ .

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Étape 9.1.2.1

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y^{2} + 6 + 0$

Étape 9.1.2.2

Additionnez $- 2 y^{2} + 6$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y^{2} + 6$

Étape 10

Déterminez la primitive de $- 2 y^{2} + 6$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = - 2 y^{2} + 6$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y^{2} + 6 d y$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y^{2} + 6 d y$

Étape 10.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (y) = \int - 2 y^{2} d y + \int 6 d y$

Étape 10.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - 2 \int y^{2} d y + \int 6 d y$

Étape 10.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int 6 d y$

Étape 10.6

Appliquez la règle de la constante.

$g (y) = - 2 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 6 y + C$

Étape 10.7

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{y^{3}}{3} + C) + 6 y + C$

Étape 10.8

Simplifiez

$g (y) = \frac{- 2 y^{3}}{3} + 6 y + C$

Étape 10.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$g (y) = - \frac{2 y^{3}}{3} + 6 y + C$

Étape 10.10

Simplifiez

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Étape 10.10.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$g (y) = - (\frac{2}{3} y^{3}) + 6 y + C$

Étape 10.10.2

Supprimez les parenthèses.

$g (y) = - \frac{2}{3} y^{3} + 6 y + C$

Étape 11

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = x^{2} + 2 y x + 2 x + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + 2 y x + 2 x - \frac{2}{3} y^{3} + 6 y + C$

Étape 12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1

Associez $y^{3}$ et $\frac{2}{3}$ .

$f (x, y) = x^{2} + 2 y x + 2 x - \frac{y^{3} \cdot 2}{3} + 6 y + C$

Étape 12.2

Déplacez $2$ à gauche de $y^{3}$ .

$f (x, y) = x^{2} + 2 y x + 2 x - \frac{2 y^{3}}{3} + 6 y + C$