Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \cos (x) \csc (y)$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\csc (y)}$ .

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\cos (x) \csc (y))$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $\csc (y)$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $\csc (y)$ à partir de $\cos (x) \csc (y)$ .

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\csc (y) \cos (x))$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\csc (y) \cos (x))$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\csc (y)} d y = \cos (x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\csc (y)} d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez

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Étape 2.2.1.1

Réécrivez $\csc (y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\sin (y)}} d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.1.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\sin (y)}$ .

$\int 1 \sin (y) d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $\sin (y)$ par $1$ .

$\int \sin (y) d y = \int \cos (x) d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\sin (y)$ par rapport à $y$ est $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = \sin (x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \cos (y) = \sin (x) + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sin (x) + K = - \cos (y)$ .

$\sin (x) + K = - \cos (y)$

Étape 3.2

Soustrayez $K$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (x) = - \cos (y) - K$

Étape 3.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \cos (y) - K)$

Étape 3.4

Réécrivez l’équation comme $\arcsin (- \cos (y) - K) = x$ .

$\arcsin (- \cos (y) - K) = x$

Étape 3.5

Prenez l’arc sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $\cos (y)$ de l’intérieur de l’arc sinus.

$- \cos (y) - K = \sin (x)$

Étape 3.6

Ajoutez $K$ aux deux côtés de l’équation.

$- \cos (y) = \sin (x) + K$

Étape 3.7

Divisez chaque terme dans $- \cos (y) = \sin (x) + K$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.7.1

Divisez chaque terme dans $- \cos (y) = \sin (x) + K$ par $- 1$ .

$\frac{- \cos (y)}{- 1} = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.7.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\cos (y)}{1} = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.7.2.2

Divisez $\cos (y)$ par $1$ .

$\cos (y) = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sin (x)}{- 1}$ .

$\cos (y) = - 1 \cdot \sin (x) + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.7.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \sin (x)$ comme $- \sin (x)$ .

$\cos (y) = - \sin (x) + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.7.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{K}{- 1}$ .

$\cos (y) = - \sin (x) - 1 \cdot K$

Étape 3.7.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot K$ comme $- K$ .

$\cos (y) = - \sin (x) - K$

Étape 3.8

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du cosinus.

$y = \arccos (- \sin (x) - K)$

Étape 3.9

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\arcsin (- \cos (y) - K) = x$

Étape 3.10

Prenez l’arc sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $\cos (y)$ de l’intérieur de l’arc sinus.

$- \cos (y) - K = \sin (x)$

Étape 3.11

Ajoutez $K$ aux deux côtés de l’équation.

$- \cos (y) = \sin (x) + K$

Étape 3.12

Divisez chaque terme dans $- \cos (y) = \sin (x) + K$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.12.1

Divisez chaque terme dans $- \cos (y) = \sin (x) + K$ par $- 1$ .

$\frac{- \cos (y)}{- 1} = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.12.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.12.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\cos (y)}{1} = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.12.2.2

Divisez $\cos (y)$ par $1$ .

$\cos (y) = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.12.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.12.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.12.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sin (x)}{- 1}$ .

$\cos (y) = - 1 \cdot \sin (x) + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.12.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \sin (x)$ comme $- \sin (x)$ .

$\cos (y) = - \sin (x) + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.12.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{K}{- 1}$ .

$\cos (y) = - \sin (x) - 1 \cdot K$

Étape 3.12.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot K$ comme $- K$ .

$\cos (y) = - \sin (x) - K$

Étape 3.13

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du cosinus.

$y = \arccos (- \sin (x) - K)$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \arccos (- \sin (x) + K)$