Calcul infinitésimal Exemples

$y \frac{d y}{d x} = x^{2} - 7 x$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$y d y = (x^{2} - 7 x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int x^{2} - 7 x d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} - 7 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - 7 x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 7 x d x$

Étape 2.3.3

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 7$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 7 \int x d x$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - 7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.2.1

Associez $- 7$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{- 7}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + K)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{7}{2} x^{2} + K)$

Étape 3.2.2.1.1.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{7}{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2} \cdot 7}{2} + K)$

Étape 3.2.2.1.1.3

Déplacez $7$ à gauche de $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{7 x^{2}}{2} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{3} + 2 (- \frac{7 x^{2}}{2}) + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.3.1

Associez $2$ et $\frac{x^{3}}{3}$ .

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 (- \frac{7 x^{2}}{2}) + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{7 x^{2}}{2}$ dans le numérateur.

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 \frac{- 7 x^{2}}{2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 \frac{- 7 x^{2}}{2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} - 7 x^{2} + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} - 7 x^{2} + 2 K}$

Étape 3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} - 7 x^{2} + 2 K}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Pour écrire $- 7 x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} - 7 x^{2} \cdot \frac{3}{3} + 2 K}$

Étape 3.4.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Associez $- 7 x^{2}$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} + \frac{- 7 x^{2} \cdot 3}{3} + 2 K}$

Étape 3.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} \cdot 3}{3} + 2 K}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $2 x^{3} - 7 x^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $2 x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x) - 7 x^{2} \cdot 3}{3} + 2 K}$

Étape 3.4.3.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 7 x^{2} \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} (- 7 \cdot 3)}{3} + 2 K}$

Étape 3.4.3.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (2 x) + x^{2} (- 7 \cdot 3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 7 \cdot 3)}{3} + 2 K}$

Étape 3.4.3.2

Multipliez $- 7$ par $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 21)}{3} + 2 K}$

Étape 3.4.4

Pour écrire $2 K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 21)}{3} + 2 K \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 3.4.5

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.5.1

Associez $2 K$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 21)}{3} + \frac{2 K \cdot 3}{3}}$

Étape 3.4.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 21) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Étape 3.4.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 21 + 2 K \cdot 3}{3}}$

Étape 3.4.6.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 21 + 2 K \cdot 3}{3}}$

Étape 3.4.6.3

Déplacez $- 21$ à gauche de $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{2} x - 21 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Étape 3.4.6.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.6.4.1

Déplacez $x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x \cdot x^{2}) - 21 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Étape 3.4.6.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.6.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{1} x^{2}) - 21 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Étape 3.4.6.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{1 + 2} - 21 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Étape 3.4.6.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3} - 21 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3} - 21 x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Étape 3.4.6.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K}{3}}$

Étape 3.4.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}}$

Étape 3.4.8

Multipliez $\frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 3.4.9

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.9.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 3.4.9.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 3.4.9.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 3.4.9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 3.4.9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 3.4.9.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.9.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.4.9.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.4.9.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.9.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.9.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.9.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 3.4.9.6.5

Évaluez l’exposant.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3}$

Étape 3.4.10

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{(2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K) \cdot 3}}{3}$

Étape 3.4.11

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K) \cdot 3}}{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + K)}}{3}$