Calcul infinitésimal Exemples

$(1 + e^{x}) (y d) y = e^{x} d x$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{1 + e^{x}}$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} ((1 + e^{x}) y) d y = \frac{1}{1 + e^{x}} e^{x} d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $1 + e^{x}$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $1 + e^{x}$ à partir de $(1 + e^{x}) y$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} ((1 + e^{x}) (y)) d y = \frac{1}{1 + e^{x}} e^{x} d x$

Étape 2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 + e^{x}} ((1 + e^{x}) y) d y = \frac{1}{1 + e^{x}} e^{x} d x$

Étape 2.1.3

Réécrivez l’expression.

$y d y = \frac{1}{1 + e^{x}} e^{x} d x$

Étape 2.2

Associez $\frac{1}{1 + e^{x}}$ et $e^{x}$ .

$y d y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Étape 3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Étape 3.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Laissez $u = 1 + e^{x}$ . Alors $d u = e^{x} d x$ , donc $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.3.1.1

Laissez $u = 1 + e^{x}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Différenciez $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Étape 3.3.1.1.2

Différenciez.

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Étape 3.3.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.3.1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.3.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Étape 3.3.1.1.4

Additionnez $0$ et $e^{x}$ .

$e^{x}$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Étape 3.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| 1 + e^{x} |) + C_{2}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

Étape 4.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

Étape 4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

Étape 4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 \ln (| 1 + e^{x} |) + 2 C$

Étape 4.3

Simplifiez $2 \ln (| 1 + e^{x} |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$y^{2} = \ln ({| 1 + e^{x} |}^{2}) + 2 C$

Étape 4.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\ln ({| 1 + e^{x} |}^{2}) + 2 C}$

Étape 4.5

Retirez la valeur absolue dans ${| 1 + e^{x} |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$y = \pm \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

Étape 4.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

Étape 4.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

Étape 4.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

Étape 5

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + C}$