Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = \frac{3 t^{2}}{y}$ , $y (2) = 0$

Étape 1

Écrivez le problème comme une expression mathématique.

$\frac{d y}{d t} = \frac{3 t^{2}}{y}$ , $y (2) = 0$

Étape 2

Séparez les variables.

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Étape 2.1

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{3 t^{2}}{y}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{3 t^{2}}{y}$

Étape 2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d t} = 3 t^{2}$

Étape 2.3

Réécrivez l’équation.

$y d y = 3 t^{2} d t$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int 3 t^{2} d t$

Étape 3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 3 t^{2} d t$

Étape 3.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int t^{2} d t$

Étape 3.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$

Étape 3.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.3.3.1

Réécrivez $3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$ comme $3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez

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Étape 3.3.3.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

Étape 3.3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

Étape 3.3.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 t^{3} + C_{2}$

Étape 3.3.3.2.3

Multipliez $t^{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = t^{3} + C_{2}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = t^{3} + K$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (t^{3} + K)$

Étape 4.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (t^{3} + K)$

Étape 4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (t^{3} + K)$

Étape 4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (t^{3} + K)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 t^{3} + 2 K$

Étape 4.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{2 t^{3} + 2 K}$

Étape 4.4

Factorisez $2$ à partir de $2 t^{3} + 2 K$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 t^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (t^{3}) + 2 K}$

Étape 4.4.2

Factorisez $2$ à partir de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (t^{3}) + 2 K}$

Étape 4.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (t^{3}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

Étape 4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

Étape 4.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

Étape 4.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

Étape 5

Comme $y$ est non négatif dans la condition initiale $(2, 0)$ , ne tenez compte que de $y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$ pour déterminer le $K$ . Remplacez $t$ par $2$ et $y$ par $0$ .

$0 = \sqrt{2 (2^{3} + K)}$

Étape 6

Résolvez $K$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{2 (2^{3} + K)} = 0$ .

$\sqrt{2 (2^{3} + K)} = 0$

Étape 6.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{2 (2^{3} + K)}}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 (2^{3} + K)}$ comme ${(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez ${({(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.3.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 (2^{3} + K))}^{1} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

${(2 (8 + K))}^{1} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

${(2 \cdot 8 + 2 K)}^{1} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.1.3

Multipliez.

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Étape 6.3.2.1.3.1

Multipliez $2$ par $8$ .

${(16 + 2 K)}^{1} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.1.3.2

Simplifiez

$16 + 2 K = 0^{2}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$16 + 2 K = 0$

Étape 6.4

Résolvez $K$ .

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Étape 6.4.1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$2 K = - 16$

Étape 6.4.2

Divisez chaque terme dans $2 K = - 16$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 K = - 16$ par $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{- 16}{2}$

Étape 6.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 K}{2} = \frac{- 16}{2}$

Étape 6.4.2.2.1.2

Divisez $K$ par $1$ .

$K = \frac{- 16}{2}$

Étape 6.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.2.3.1

Divisez $- 16$ par $2$ .

$K = - 8$

Étape 7

Remplacez $K$ par $- 8$ dans $y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $K$ par $- 8$ .

$y = \sqrt{2 (t^{3} - 8)}$

Étape 7.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$y = \sqrt{2 (t^{3} - 2^{3})}$

Étape 7.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = t$ et $b = 2$ .

$y = \sqrt{2 ((t - 2) (t^{2} + t \cdot 2 + 2^{2}))}$

Étape 7.4

Simplifiez

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Étape 7.4.1

Déplacez $2$ à gauche de $t$ .

$y = \sqrt{2 ((t - 2) (t^{2} + 2 \cdot t + 2^{2}))}$

Étape 7.4.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \sqrt{2 ((t - 2) (t^{2} + 2 t + 4))}$

$y = \sqrt{2 (t - 2) (t^{2} + 2 t + 4)}$