Calcul infinitésimal Exemples

$x y d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x y$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y]$

Étape 1.2

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1$

Étape 1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - (x^{2} + y^{2})$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + y^{2})]$

Étape 2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (x^{2} + y^{2})$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 2.5

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 0)$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x)$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 2 x$ .

$x = - 2 x$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$x = - 2 x$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 2 x$ .

$\frac{- 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x$ .

$\frac{- 2 x - x}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $x y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $x y$ .

$\frac{- 2 x - x}{x y}$

Étape 4.3.2

Soustrayez $x$ de $- 2 x$ .

$\frac{- 3 x}{x y}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x}{x y}$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3}{y}$

Étape 4.3.4

Remplacez $M$ par $x y$ .

$- \frac{3}{y}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Étape 5.2

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Étape 5.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 5.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Étape 5.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1

Simplifiez $- 3 \ln (| y |)$ en déplaçant $- 3$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Étape 5.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Étape 5.6.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $x y d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{y^{3}}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $x y$ par $\frac{1}{y^{3}}$ .

$x y \frac{1}{y^{3}} d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$y x \frac{1}{y^{3}} d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{3}$ .

$y x \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun.

$y x \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Étape 6.2.4

Réécrivez l’expression.

$x \frac{1}{y^{2}} d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Étape 6.3

Associez $x$ et $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Étape 6.4

Multipliez $- (x^{2} + y^{2})$ par $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x - (x^{2} + y^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Étape 6.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x}{y^{2}} d x + (- x^{2} - y^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Étape 6.6

Multipliez $- x^{2} - y^{2}$ par $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x + \frac{- x^{2} - y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Étape 6.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x + \frac{- (x^{2}) - y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Étape 6.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{2}$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x + \frac{- (x^{2}) - (y^{2})}{y^{3}} d y = 0$

Étape 6.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (y^{2})$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x + \frac{- (x^{2} + y^{2})}{y^{3}} d y = 0$

Étape 6.10

Réécrivez $- (x^{2} + y^{2})$ comme $- 1 (x^{2} + y^{2})$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x + \frac{- 1 (x^{2} + y^{2})}{y^{3}} d y = 0$

Étape 6.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x}{y^{2}} d x - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y^{2}} d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = \frac{x}{y^{2}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Comme $\frac{1}{y^{2}}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{y^{2}}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} \int x d x$

Étape 8.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 8.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.3.1

Réécrivez $\frac{1}{y^{2}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $\frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 8.3.2

Simplifiez

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Étape 8.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{y^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2} \cdot 2} x^{2} + C$

Étape 8.3.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 \cdot y^{2}} x^{2} + C$

Étape 8.3.2.3

Multipliez $2$ par $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 y^{2}} x^{2} + C$

Étape 8.3.2.4

Associez $\frac{1}{2 y^{2}}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{2}}]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $\frac{x^{2}}{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ par rapport à $y$ est $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 11.3.2

Réécrivez $\frac{1}{y^{2}}$ comme ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 11.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{- 1}$ et $g (y) = y^{2}$ .

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Étape 11.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 11.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 11.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 11.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 11.3.5

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 11.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 11.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 11.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 11.3.7

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 11.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 11.3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 11.3.10

Associez $- 2$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{2} y^{- 3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 11.3.11

Associez $\frac{- 2 x^{2}}{2}$ et $y^{- 3}$ .

$\frac{- 2 x^{2} y^{- 3}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 11.3.12

Placez $y^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 11.3.13

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 11.3.13.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 11.3.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.3.13.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y^{3}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 (y^{3})} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 11.3.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- x^{2})}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 11.3.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x^{2}}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 11.3.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 11.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{3}} = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 12.1.1.1

Ajoutez $\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}} = 0$

Étape 12.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} + x^{2} + y^{2}}{y^{3}} = 0$

Étape 12.1.1.3

Additionnez $- x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + y^{2}}{y^{3}} = 0$

Étape 12.1.1.4

Additionnez $0$ et $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2}}{y^{3}} = 0$

Étape 12.1.1.5

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y^{3}$ .

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Étape 12.1.1.5.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 1}{y^{3}} = 0$

Étape 12.1.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.1.1.5.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 1}{y^{2} y} = 0$

Étape 12.1.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 1}{y^{2} y} = 0$

Étape 12.1.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y} = 0$

Étape 12.1.2

Soustrayez $\frac{1}{y}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $- \frac{1}{y}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{1}{y} d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \frac{1}{y} d y$

Étape 13.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - \int \frac{1}{y} d y$

Étape 13.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$g (y) = - (\ln (| y |) + C)$

Étape 13.5

Simplifiez

$g (y) = - \ln (| y |) + C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - \ln (| y |) + C$