Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{9 \sqrt{x}}$ , $y (16) = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \frac{1}{9 \sqrt{x}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{1}{9 \sqrt{x}} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{9 \sqrt{x}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{9}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{9} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Étape 2.3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{9} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 2.3.2.2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{9} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 2.3.2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{9} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 2.3.2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{9} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 2.3.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = \frac{1}{9} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{9} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez $\frac{1}{9} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ comme $\frac{1}{9} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{9} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2

Associez $\frac{1}{9}$ et $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{9} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{2}{9} x^{\frac{1}{2}} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $16$ et $y$ par $0$ dans $y = \frac{2}{9} x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$0 = \frac{2}{9} \cdot 16^{\frac{1}{2}} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{2}{9} \cdot 16^{\frac{1}{2}} + K = 0$ .

$\frac{2}{9} \cdot 16^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{2}{9} \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{9} \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{9} \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

Étape 4.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{9} \cdot 4^{1} + K = 0$

Étape 4.2.4

Évaluez l’exposant.

$\frac{2}{9} \cdot 4 + K = 0$

Étape 4.2.5

Multipliez $\frac{2}{9} \cdot 4$ .

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Étape 4.2.5.1

Associez $\frac{2}{9}$ et $4$ .

$\frac{2 \cdot 4}{9} + K = 0$

Étape 4.2.5.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{8}{9} + K = 0$

Étape 4.3

Soustrayez $\frac{8}{9}$ des deux côtés de l’équation.

$K = - \frac{8}{9}$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- \frac{8}{9}$ dans $y = \frac{2}{9} x^{\frac{1}{2}} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- \frac{8}{9}$ .

$y = \frac{2}{9} x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{9}$

Étape 5.2

Associez $\frac{2}{9}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{9} - \frac{8}{9}$