Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + 5 y = 7 x^{2}$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 5$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 5 d x}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{5 x + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{5 x}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{5 x}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{5 x}$ .

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + e^{5 x} (5 y) = e^{5 x} (7 x^{2})$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = e^{5 x} (7 x^{2})$

Étape 2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = 7 e^{5 x} x^{2}$

Étape 2.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = 7 e^{5 x} x^{2}$ .

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 y e^{5 x} = 7 x^{2} e^{5 x}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{5 x} y] = 7 x^{2} e^{5 x}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{5 x} y] d x = \int 7 x^{2} e^{5 x} d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{5 x} y = \int 7 x^{2} e^{5 x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$e^{5 x} y = 7 \int x^{2} e^{5 x} d x$

Étape 6.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y = 7 (x^{2} (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x)$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y = 7 (x^{2} \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x)$

Étape 6.3.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x)$

Étape 6.3.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} (2 x) d x)$

Étape 6.3.4

Associez $2$ et $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{2 e^{5 x}}{5} x d x)$

Étape 6.3.5

Associez $\frac{2 e^{5 x}}{5}$ et $x$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{2 e^{5 x} x}{5} d x)$

Étape 6.4

Comme $\frac{2}{5}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{2}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - (\frac{2}{5} \int e^{5 x} x d x))$

Étape 6.5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x))$

Étape 6.6

Simplifiez

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Étape 6.6.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x))$

Étape 6.6.2

Associez $x$ et $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x))$

Étape 6.6.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} d x))$

Étape 6.7

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - (\frac{1}{5} \int e^{5 x} d x)))$

Étape 6.8

Laissez $u = 5 x$ . Alors $d u = 5 d x$ , donc $\frac{1}{5} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.8.1

Laissez $u = 5 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.8.1.1

Différenciez $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 6.8.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Étape 6.8.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$5$

Étape 6.8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{5} d u))$

Étape 6.9

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{5}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int \frac{e^{u}}{5} d u))$

Étape 6.10

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)))$

Étape 6.11

Simplifiez

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Étape 6.11.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{1}{5}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u))$

Étape 6.11.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u))$

Étape 6.12

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)))$

Étape 6.13

Réécrivez $7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)))$ comme $7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) + C$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) + C$

Étape 6.14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{5 x}}{125}) + C$

Étape 6.15

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} x^{2} e^{5 x} - \frac{2}{25} x e^{5 x} + \frac{2}{125} e^{5 x}) + C$

Étape 7

Résolvez $y$ .

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Associez $x$ et $\frac{2}{25}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{x \cdot 2}{25} \cdot e^{5 x} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}) + C$

Étape 7.1.2

Associez $e^{5 x}$ et $\frac{x \cdot 2}{25}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}) + C$

Étape 7.1.3

Supprimez les parenthèses.

$e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} \cdot x^{2} e^{5 x} - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}) + C$

Étape 7.2

Divisez chaque terme dans $e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}) + C$ par $e^{5 x}$ et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Divisez chaque terme dans $e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}) + C$ par $e^{5 x}$ .

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{5 x}$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.3.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.1.1.1

Factorisez $e^{5 x}$ à partir de $\frac{1}{5} \cdot x^{2} e^{5 x} - \frac{e^{5 x} x \cdot 2}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}$ .

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Étape 7.2.3.1.1.1.1

Factorisez $e^{5 x}$ à partir de $\frac{1}{5} \cdot x^{2} e^{5 x}$ .

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2}) - \frac{e^{5 x} x \cdot 2}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.1.2

Factorisez $e^{5 x}$ à partir de $- \frac{e^{5 x} x \cdot 2}{25}$ .

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2}) + e^{5 x} (- \frac{x \cdot 2}{25}) + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.1.3

Factorisez $e^{5 x}$ à partir de $\frac{2}{125} \cdot e^{5 x}$ .

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2}) + e^{5 x} (- \frac{x \cdot 2}{25}) + e^{5 x} \cdot \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.1.4

Factorisez $e^{5 x}$ à partir de $e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2}) + e^{5 x} (- \frac{x \cdot 2}{25})$ .

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2} - \frac{x \cdot 2}{25}) + e^{5 x} \cdot \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.1.5

Factorisez $e^{5 x}$ à partir de $e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2} - \frac{x \cdot 2}{25}) + e^{5 x} \cdot \frac{2}{125}$ .

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2} - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{2}{125}))}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{2}$ .

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{x^{2}}{5} - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{2}{125}))}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{x^{2}}{5} - \frac{2 \cdot x}{25} + \frac{2}{125}))}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.4

Supprimez les parenthèses inutiles.

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x^{2}}{5} - \frac{2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.5

Pour écrire $\frac{x^{2}}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x^{2}}{5} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $25$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.2.3.1.1.6.1

Multipliez $\frac{x^{2}}{5}$ par $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x^{2} \cdot 5}{5 \cdot 5} - \frac{2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.6.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x^{2} \cdot 5}{25} - \frac{2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x^{2} \cdot 5 - 2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.1.1.8.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} \cdot 5 - 2 x$ .

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Étape 7.2.3.1.1.8.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} \cdot 5$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (x \cdot 5) - 2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.8.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (x \cdot 5) + x \cdot - 2}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.8.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (x \cdot 5) + x \cdot - 2$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (x \cdot 5 - 2)}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.8.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (5 x - 2)}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.9

Pour écrire $\frac{x (5 x - 2)}{25}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (5 x - 2)}{25} \cdot \frac{5}{5} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.10

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $125$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.2.3.1.1.10.1

Multipliez $\frac{x (5 x - 2)}{25}$ par $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (5 x - 2) \cdot 5}{25 \cdot 5} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.10.2

Multipliez $25$ par $5$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (5 x - 2) \cdot 5}{125} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{x (5 x - 2) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.1.1.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(x (5 x) + x \cdot - 2) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.12.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(5 x \cdot x + x \cdot - 2) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.12.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(5 x \cdot x - 2 \cdot x) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.12.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.3.1.1.12.4.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(5 (x \cdot x) - 2 \cdot x) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.12.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(5 x^{2} - 2 \cdot x) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(5 x^{2} - 2 x) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.12.5

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{5 x^{2} \cdot 5 - 2 x \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.12.6

Multipliez $5$ par $5$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{25 x^{2} - 2 x \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.12.7

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{25 x^{2} - 10 x + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.13

Associez les exposants.

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Étape 7.2.3.1.1.13.1

Associez $\frac{25 x^{2} - 10 x + 2}{125}$ et $7$ .

$y = \frac{\frac{(25 x^{2} - 10 x + 2) \cdot 7}{125} e^{5 x}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.13.2

Associez $\frac{(25 x^{2} - 10 x + 2) \cdot 7}{125}$ et $e^{5 x}$ .

$y = \frac{\frac{(25 x^{2} - 10 x + 2) \cdot 7 e^{5 x}}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.1.1.14

Déplacez $7$ à gauche de $25 x^{2} - 10 x + 2$ .

$y = \frac{\frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x}}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x}}{125} \cdot \frac{1}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.1.3

Associez.

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x} \cdot 1}{125 e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.1.4

Annulez le facteur commun de $e^{5 x}$ .

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Étape 7.2.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x} \cdot 1}{125 e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) \cdot 1}{125} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.1.5

Multipliez $7$ par $1$ .

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2)}{125} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.2

Pour écrire $\frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2)}{125}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e^{5 x}}{e^{5 x}}$ .

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2)}{125} \cdot \frac{e^{5 x}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.3

Pour écrire $\frac{C}{e^{5 x}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{125}{125}$ .

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2)}{125} \cdot \frac{e^{5 x}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}} \cdot \frac{125}{125}$

Étape 7.2.3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $125 e^{5 x}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.2.3.4.1

Multipliez $\frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2)}{125}$ par $\frac{e^{5 x}}{e^{5 x}}$ .

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x}}{125 e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}} \cdot \frac{125}{125}$

Étape 7.2.3.4.2

Multipliez $\frac{C}{e^{5 x}}$ par $\frac{125}{125}$ .

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x}}{125 e^{5 x}} + \frac{C \cdot 125}{e^{5 x} \cdot 125}$

Étape 7.2.3.4.3

Réorganisez les facteurs de $e^{5 x} \cdot 125$ .

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x}}{125 e^{5 x}} + \frac{C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{(7 (25 x^{2}) + 7 (- 10 x) + 7 \cdot 2) e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.6.2

Simplifiez

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Étape 7.2.3.6.2.1

Multipliez $25$ par $7$ .

$y = \frac{(175 x^{2} + 7 (- 10 x) + 7 \cdot 2) e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.6.2.2

Multipliez $- 10$ par $7$ .

$y = \frac{(175 x^{2} - 70 x + 7 \cdot 2) e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.6.2.3

Multipliez $7$ par $2$ .

$y = \frac{(175 x^{2} - 70 x + 14) e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{175 x^{2} e^{5 x} - 70 x e^{5 x} + 14 e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

Étape 7.2.3.6.4

Déplacez $125$ à gauche de $C$ .

$y = \frac{175 x^{2} e^{5 x} - 70 x e^{5 x} + 14 e^{5 x} + 125 C}{125 e^{5 x}}$