Calcul infinitésimal Exemples

$x (1 + y^{2}) d x = y d y$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$y d y = x (1 + y^{2}) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} y d y = \frac{1}{1 + y^{2}} (x (1 + y^{2})) d x$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Associez $\frac{1}{1 + y^{2}}$ et $y$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{1 + y^{2}} (x (1 + y^{2})) d x$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $1 + y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Factorisez $1 + y^{2}$ à partir de $x (1 + y^{2})$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x) d x$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x) d x$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = x d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int x d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Laissez $u = 1 + y^{2}$ . Alors $d u = 2 y d y$ , donc $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Laissez $u = 1 + y^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1.1

Différenciez $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Étape 4.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 4.2.1.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 4.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Étape 4.2.1.1.5

Additionnez $0$ et $2 y$ .

$2 y$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int x d x$

Étape 4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int x d x$

Étape 4.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int x d x$

Étape 4.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Étape 4.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x d x$

Étape 4.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Étape 4.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int x d x$

Étape 4.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 5.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| 1 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 5.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C)$

Étape 5.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

Étape 5.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

Étape 5.2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = x^{2} + 2 C$

Étape 5.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 1 + y^{2} |)} = e^{x^{2} + 2 C}$

Étape 5.4

Réécrivez $\ln (| 1 + y^{2} |) = x^{2} + 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + 2 C} = | 1 + y^{2} |$

Étape 5.5

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $| 1 + y^{2} | = e^{x^{2} + 2 C}$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{x^{2} + 2 C}$

Étape 5.5.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm e^{x^{2} + 2 C}$

Étape 5.5.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} = \pm e^{x^{2} + 2 C} - 1$

Étape 5.5.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{x^{2} + 2 C} - 1}$

Étape 6

Regroupez les termes constants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{x^{2} + C} - 1}$

Étape 6.2

Réécrivez $e^{x^{2} + C}$ comme $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{x^{2}} e^{C} - 1}$

Étape 6.3

Remettez dans l’ordre $e^{x^{2}}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} e^{x^{2}} - 1}$

Étape 6.4

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = \pm \sqrt{C e^{x^{2}} - 1}$