Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = - 4 e^{x - 8}$ , $y (8) = 8$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = - 4 e^{x - 8} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int - 4 e^{x - 8} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int - 4 e^{x - 8} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - 4 \int e^{x - 8} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u = x - 8$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = x - 8$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $x - 8$ .

$\frac{d}{d x} [x - 8]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 2.3.2.1.4

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.3.2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = - 4 \int e^{u} d u$

Étape 2.3.3

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - 4 (e^{u} + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$y + C_{1} = - 4 e^{u} + C_{2}$

Étape 2.3.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 8$ .

$y + C_{1} = - 4 e^{x - 8} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = - 4 e^{x - 8} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $8$ et $y$ par $8$ dans $y = - 4 e^{x - 8} + K$ .

$8 = - 4 e^{8 - 8} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $- 4 e^{8 - 8} + K = 8$ .

$- 4 e^{8 - 8} + K = 8$

Étape 4.2

Simplifiez $- 4 e^{8 - 8} + K$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $8$ de $8$ .

$- 4 e^{0} + K = 8$

Étape 4.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- 4 \cdot 1 + K = 8$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 4 + K = 8$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$K = 8 + 4$

Étape 4.3.2

Additionnez $8$ et $4$ .

$K = 12$

Étape 5

Remplacez $K$ par $12$ dans $y = - 4 e^{x - 8} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $12$ .

$y = - 4 e^{x - 8} + 12$