Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + y = x^{2}$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 1$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int d x}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{x + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{x}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{x}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{2}$

Étape 2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{2}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = x^{2} e^{x}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = x^{2} e^{x}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int x^{2} e^{x} d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{x} y = \int x^{2} e^{x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x$

Étape 6.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x)$

Étape 6.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x$

Étape 6.4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Étape 6.5

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Étape 6.6

Réécrivez $x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$ comme $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + C$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + C$ par $e^{x}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + C$ par $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 7.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.3.1.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$y = x^{2} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.3.1.2

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 7.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = x^{2} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.3.1.2.2

Divisez $- 2 x$ par $1$ .

$y = x^{2} - 2 x + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.3.1.3

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 7.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y = x^{2} - 2 x + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.3.1.3.2

Divisez $2$ par $1$ .

$y = x^{2} - 2 x + 2 + \frac{C}{e^{x}}$