Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{12 \sqrt{x}}$ , $y (4) = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = - \frac{1}{12 \sqrt{x}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int - \frac{1}{12 \sqrt{x}} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{12 \sqrt{x}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{12 \sqrt{x}} d x$

Étape 2.3.2

Comme $\frac{1}{12}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{12}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{12} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x)$

Étape 2.3.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{12} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 2.3.3.2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{12} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 2.3.3.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{12} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 2.3.3.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{12} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 2.3.3.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = - \frac{1}{12} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{12} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.5.1

Réécrivez $- \frac{1}{12} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ comme $- \frac{1}{12} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{12} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

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Étape 2.3.5.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{12}) x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.5.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{12}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 2}{12} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.5.2.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $12$ .

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Étape 2.3.5.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 (- 1)}{12} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.5.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.5.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.5.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.5.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{6} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.5.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = - \frac{1}{6} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = - \frac{1}{6} x^{\frac{1}{2}} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $4$ et $y$ par $0$ dans $y = - \frac{1}{6} x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$0 = - \frac{1}{6} \cdot 4^{\frac{1}{2}} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{1}{6} \cdot 4^{\frac{1}{2}} + K = 0$ .

$- \frac{1}{6} \cdot 4^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{1}{6} \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{6} \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{6} \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

Étape 4.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{6} \cdot 2^{1} + K = 0$

Étape 4.2.4

Évaluez l’exposant.

$- \frac{1}{6} \cdot 2 + K = 0$

Étape 4.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{6}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{6} \cdot 2 + K = 0$

Étape 4.2.5.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{- 1}{2 (3)} \cdot 2 + K = 0$

Étape 4.2.5.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot 2 + K = 0$

Étape 4.2.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{3} + K = 0$

Étape 4.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{3} + K = 0$

Étape 4.3

Ajoutez $\frac{1}{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$K = \frac{1}{3}$

Étape 5

Remplacez $K$ par $\frac{1}{3}$ dans $y = - \frac{1}{6} x^{\frac{1}{2}} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{1}{6} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3}$

Étape 5.2

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{1}{6}$ .

$y = - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{1}{3}$