Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y^{2} + 1 = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + y^{2} + 1 = 0$

Étape 1.1.1.2

Multipliez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + y^{2} + 1 = 0$

Étape 1.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d y}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.2.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 1 = - y^{2}$

Étape 1.1.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = - y^{2} - 1$

Étape 1.1.3

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.3.1

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - y^{2} - 1$

Étape 1.1.3.2

Élevez $\frac{d y}{d x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - y^{2} - 1$

Étape 1.1.3.3

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - y^{2} - 1$

Étape 1.1.3.4

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - y^{2} - 1$

Étape 1.1.4

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - y^{2} - 1$ par $x^{2} + 1$ et simplifiez.

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Étape 1.1.4.1

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - y^{2} - 1$ par $x^{2} + 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 1$ .

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Étape 1.1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2}) - 1}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.3.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2}) - 1 (1)}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.4.3.5.1

Réécrivez $- (y^{2} + 1)$ comme $- 1 (y^{2} + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1 (y^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (- \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $y^{2} + 1$ .

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Étape 1.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y^{2} + 1}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.1

Remettez dans l’ordre $y^{2}$ et $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ par rapport à $y$ est $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Étape 2.3.3

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - (\arctan (x) + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$\arctan (y) + C_{1} = - \arctan (x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $- \arctan (x) + K = \arctan (y)$ .

$- \arctan (x) + K = \arctan (y)$

Étape 3.2

Soustrayez $K$ des deux côtés de l’équation.

$- \arctan (x) = \arctan (y) - K$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $- \arctan (x) = \arctan (y) - K$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $- \arctan (x) = \arctan (y) - K$ par $- 1$ .

$\frac{- \arctan (x)}{- 1} = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\arctan (x)}{1} = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Étape 3.3.2.2

Divisez $\arctan (x)$ par $1$ .

$\arctan (x) = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\arctan (y)}{- 1}$ .

$\arctan (x) = - 1 \cdot \arctan (y) + \frac{- K}{- 1}$

Étape 3.3.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \arctan (y)$ comme $- \arctan (y)$ .

$\arctan (x) = - \arctan (y) + \frac{- K}{- 1}$

Étape 3.3.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\arctan (x) = - \arctan (y) + \frac{K}{1}$

Étape 3.3.3.1.4

Divisez $K$ par $1$ .

$\arctan (x) = - \arctan (y) + K$

Étape 3.4

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$x = \tan (- \arctan (y) + K)$

Étape 3.5

Réécrivez l’équation comme $\tan (- \arctan (y) + K) = x$ .

$\tan (- \arctan (y) + K) = x$

Étape 3.6

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $\arctan (y)$ de l’intérieur de la tangente.

$- \arctan (y) + K = \arctan (x)$

Étape 3.7

Soustrayez $K$ des deux côtés de l’équation.

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$

Étape 3.8

Divisez chaque terme dans $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.8.1

Divisez chaque terme dans $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ par $- 1$ .

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Étape 3.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.8.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Étape 3.8.2.2

Divisez $\arctan (y)$ par $1$ .

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Étape 3.8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.8.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\arctan (x)}{- 1}$ .

$\arctan (y) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Étape 3.8.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \arctan (x)$ comme $- \arctan (x)$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Étape 3.8.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{K}{1}$

Étape 3.8.3.1.4

Divisez $K$ par $1$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

Étape 3.9

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$y = \tan (- \arctan (x) + K)$

Étape 3.10

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\tan (- \arctan (y) + K) = x$

Étape 3.11

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $\arctan (y)$ de l’intérieur de la tangente.

$- \arctan (y) + K = \arctan (x)$

Étape 3.12

Soustrayez $K$ des deux côtés de l’équation.

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$

Étape 3.13

Divisez chaque terme dans $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.13.1

Divisez chaque terme dans $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ par $- 1$ .

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Étape 3.13.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.13.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Étape 3.13.2.2

Divisez $\arctan (y)$ par $1$ .

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Étape 3.13.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.13.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.13.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\arctan (x)}{- 1}$ .

$\arctan (y) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Étape 3.13.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \arctan (x)$ comme $- \arctan (x)$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Étape 3.13.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{K}{1}$

Étape 3.13.3.1.4

Divisez $K$ par $1$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

Étape 3.14

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$y = \tan (- \arctan (x) + K)$