Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x^{5}$ , $y (0) = 1$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = x^{5} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int x^{5} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int x^{5} d x$

Étape 2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{6} x^{6} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $1$ dans $y = \frac{1}{6} x^{6} + K$ .

$1 = \frac{1}{6} \cdot 0^{6} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + K = 1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + K = 1$

Étape 4.2

Simplifiez $\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + K$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot 0 + K = 1$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $0$ .

$0 + K = 1$

Étape 4.2.2

Additionnez $0$ et $K$ .

$K = 1$

Étape 5

Remplacez $K$ par $1$ dans $y = \frac{1}{6} x^{6} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $1$ .

$y = \frac{1}{6} x^{6} + 1$

Étape 5.2

Associez $\frac{1}{6}$ et $x^{6}$ .

$y = \frac{x^{6}}{6} + 1$