Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + 6 y \cos (3 x) = \cos (3 x)$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Soustrayez $6 y \cos (3 x)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} = \cos (3 x) - 6 y \cos (3 x)$

Étape 1.2

Factorisez $\cos (3 x)$ à partir de $\cos (3 x) - 6 y \cos (3 x)$ .

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Étape 1.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos (3 x) \cdot 1 - 6 y \cos (3 x)$

Étape 1.2.2

Factorisez $\cos (3 x)$ à partir de $- 6 y \cos (3 x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos (3 x) \cdot 1 + \cos (3 x) (- 6 y)$

Étape 1.2.3

Factorisez $\cos (3 x)$ à partir de $\cos (3 x) \cdot 1 + \cos (3 x) (- 6 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos (3 x) (1 - 6 y)$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{1 - 6 y}$ .

$\frac{1}{1 - 6 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 6 y} (\cos (3 x) (1 - 6 y))$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $1 - 6 y$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $1 - 6 y$ à partir de $\cos (3 x) (1 - 6 y)$ .

$\frac{1}{1 - 6 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 6 y} ((1 - 6 y) \cos (3 x))$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 - 6 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 6 y} ((1 - 6 y) \cos (3 x))$

Étape 1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 - 6 y} \frac{d y}{d x} = \cos (3 x)$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{1 - 6 y} d y = \cos (3 x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{1 - 6 y} d y = \int \cos (3 x) d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = 1 - 6 y$ . Alors $d u_{1} = - 6 d y$ , donc $- \frac{1}{6} d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = 1 - 6 y$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $1 - 6 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 - 6 y]$

Étape 2.2.1.1.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 6 y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 6 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 6 y]$

Étape 2.2.1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 6 y]$

Étape 2.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 6 y]$ .

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Étape 2.2.1.1.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 6 y$ par rapport à $y$ est $- 6 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 6 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 6 \cdot 1$

Étape 2.2.1.1.3.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$0 - 6$

Étape 2.2.1.1.4

Soustrayez $6$ de $0$ .

$- 6$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{- 6} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \frac{1}{u_{1}} (- \frac{1}{6}) d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{u_{1}}$ par $\frac{1}{6}$ .

$\int - \frac{1}{u_{1} \cdot 6} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Étape 2.2.2.3

Déplacez $6$ à gauche de $u_{1}$ .

$\int - \frac{1}{6 u_{1}} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{6 u_{1}} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Étape 2.2.4

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) = \int \cos (3 x) d x$

Étape 2.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \cos (3 x) d x$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$- \frac{1}{6} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Étape 2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 - 6 y$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u_{2} = 3 x$ . Alors $d u_{2} = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u_{2} = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.3.1.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 2.3.1.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Étape 2.3.2

Associez $\cos (u_{2})$ et $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \frac{1}{3} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{2}$

Étape 2.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \sin (3 x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 6$ .

$- 6 (- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |)) = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $- 6 (- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |))$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\ln (| 1 - 6 y |)$ et $\frac{1}{6}$ .

$- 6 (- \frac{\ln (| 1 - 6 y |)}{6}) = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\ln (| 1 - 6 y |)}{6}$ dans le numérateur.

$- 6 \frac{- \ln (| 1 - 6 y |)}{6} = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Factorisez $6$ à partir de $- 6$ .

$6 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - 6 y |)}{6} = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$6 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - 6 y |)}{6} = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$- - \ln (| 1 - 6 y |) = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Étape 3.2.1.1.3

Multipliez.

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Étape 3.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - 6 y |) = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Étape 3.2.1.1.3.2

Multipliez $\ln (| 1 - 6 y |)$ par $1$ .

$\ln (| 1 - 6 y |) = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $- 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $\sin (3 x)$ .

$\ln (| 1 - 6 y |) = - 6 (\frac{\sin (3 x)}{3} + C)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 1 - 6 y |) = - 6 \frac{\sin (3 x)}{3} - 6 C$

Étape 3.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$\ln (| 1 - 6 y |) = 3 (- 2) \frac{\sin (3 x)}{3} - 6 C$

Étape 3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| 1 - 6 y |) = 3 \cdot - 2 \frac{\sin (3 x)}{3} - 6 C$

Étape 3.2.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 1 - 6 y |) = - 2 \sin (3 x) - 6 C$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 1 - 6 y |)} = e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (| 1 - 6 y |) = - 2 \sin (3 x) - 6 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C} = | 1 - 6 y |$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $| 1 - 6 y | = e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}$ .

$| 1 - 6 y | = e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}$

Étape 3.5.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$1 - 6 y = \pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}$

Étape 3.5.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 6 y = \pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C} - 1$

Étape 3.5.4

Divisez chaque terme dans $- 6 y = \pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C} - 1$ par $- 6$ et simplifiez.

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Étape 3.5.4.1

Divisez chaque terme dans $- 6 y = \pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C} - 1$ par $- 6$ .

$\frac{- 6 y}{- 6} = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{- 6} + \frac{- 1}{- 6}$

Étape 3.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 6$ .

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Étape 3.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 6 y}{- 6} = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{- 6} + \frac{- 1}{- 6}$

Étape 3.5.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{- 6} + \frac{- 1}{- 6}$

Étape 3.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.4.3.1.1

Simplifiez $\frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{- 6}$ .

$y = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{6} + \frac{- 1}{- 6}$

Étape 3.5.4.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{6} + \frac{1}{6}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) + C}}{6} + \frac{1}{6}$

Étape 4.2

Réécrivez $e^{- 2 \sin (3 x) + C}$ comme $e^{- 2 \sin (3 x)} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x)} e^{C}}{6} + \frac{1}{6}$

Étape 4.3

Remettez dans l’ordre $e^{- 2 \sin (3 x)}$ et $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{- 2 \sin (3 x)}}{6} + \frac{1}{6}$

Étape 4.4

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = \frac{C e^{- 2 \sin (3 x)}}{6} + \frac{1}{6}$