Calcul infinitésimal Exemples

$(a^{2} - 2 x y - y^{2}) d x - {(x + y)}^{2} d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = a^{2} - 2 x y - y^{2}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [a^{2} - 2 x y - y^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a^{2} - 2 x y - y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [a^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [a^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Étape 1.2.2

Comme $a^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $a^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 x y$ par rapport à $y$ est $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x - (2 y)$

Étape 1.4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x - 2 y$

Étape 1.5

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x - 2 y$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - {(x + y)}^{2}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- {(x + y)}^{2}]$

Étape 2.2

Réécrivez ${(x + y)}^{2}$ comme $(x + y) (x + y)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- ((x + y) (x + y))]$

Étape 2.3

Développez $(x + y) (x + y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x (x + y) + y (x + y))]$

Étape 2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x \cdot x + x y + y (x + y))]$

Étape 2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y)]$

Étape 2.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + x y + y x + y \cdot y)]$

Étape 2.4.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + x y + y x + y^{2})]$

Étape 2.4.2

Additionnez $x y$ et $y x$ .

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Étape 2.4.2.1

Remettez dans l’ordre $y$ et $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + x y + x y + y^{2})]$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $x y$ et $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + 2 x y + y^{2})]$

Étape 2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (x^{2} + 2 x y + y^{2})$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x y + y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x y + y^{2}]$

Étape 2.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 x y + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 2.8

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $x$ est $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 2.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 2 y + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 2.11

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 2 y + 0)$

Étape 2.12

Additionnez $2 x + 2 y$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 2 y)$

Étape 2.13

Simplifiez

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Étape 2.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x) - (2 y)$

Étape 2.13.2

Associez des termes.

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Étape 2.13.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x - (2 y)$

Étape 2.13.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x - 2 y$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 2 x - 2 y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 2 x - 2 y$ .

$- 2 x - 2 y = - 2 x - 2 y$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$- 2 x - 2 y = - 2 x - 2 y$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - {(x + y)}^{2} d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = - {(x + y)}^{2}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - \int {(x + y)}^{2} d y$

Étape 5.2

Laissez $u = x + y$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.2.1

Laissez $u = x + y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 5.2.1.1

Différenciez $x + y$ .

$\frac{d}{d y} [x + y]$

Étape 5.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 5.2.1.3

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 5.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 5.2.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 5.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$f (x, y) = - \int u^{2} d u$

Étape 5.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Étape 5.4

Réécrivez $- (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ comme $- \frac{1}{3} u^{3} + C$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{3} u^{3} + C$

Étape 5.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + y$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3}]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $- \frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{3}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x + y$ .

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Étape 8.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + y$ .

$- \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Étape 8.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- \frac{1}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Étape 8.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + y$ .

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Étape 8.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Étape 8.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [y])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Étape 8.3.5

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Étape 8.3.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Étape 8.3.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Étape 8.3.8

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 (\frac{1}{3}) {(x + y)}^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Étape 8.3.9

Associez $- 3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 3}{3} {(x + y)}^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Étape 8.3.10

Associez $\frac{- 3}{3}$ et ${(x + y)}^{2}$ .

$\frac{- 3 {(x + y)}^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Étape 8.3.11

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 8.3.11.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 {(x + y)}^{2}$ .

$\frac{3 (- {(x + y)}^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Étape 8.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.11.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (- {(x + y)}^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Étape 8.3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- {(x + y)}^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Étape 8.3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- {(x + y)}^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Étape 8.3.11.2.4

Divisez $- {(x + y)}^{2}$ par $1$ .

$- {(x + y)}^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$- {(x + y)}^{2} + \frac{d g}{d x} = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Étape 8.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} - {(x + y)}^{2} = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Ajoutez ${(x + y)}^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = a^{2} - 2 x y - y^{2} + {(x + y)}^{2}$

Étape 10

Déterminez la primitive de $a^{2} - 2 x y - y^{2} + {(x + y)}^{2}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = a^{2} - 2 x y - y^{2} + {(x + y)}^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int a^{2} - 2 x y - y^{2} + {(x + y)}^{2} d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int a^{2} - 2 x y - y^{2} + {(x + y)}^{2} d x$

Étape 10.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (x) = \int a^{2} d x + \int - 2 x y d x + \int - y^{2} d x + \int {(x + y)}^{2} d x$

Étape 10.4

Appliquez la règle de la constante.

$g (x) = a^{2} x + C + \int - 2 x y d x + \int - y^{2} d x + \int {(x + y)}^{2} d x$

Étape 10.5

Comme $- 2 y$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2 y$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y \int x d x + \int - y^{2} d x + \int {(x + y)}^{2} d x$

Étape 10.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - y^{2} d x + \int {(x + y)}^{2} d x$

Étape 10.7

Appliquez la règle de la constante.

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - y^{2} x + C + \int {(x + y)}^{2} d x$

Étape 10.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y (\frac{x^{2}}{2} + C) - y^{2} x + C + \int {(x + y)}^{2} d x$

Étape 10.9

Laissez $u = x + y$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 10.9.1

Laissez $u = x + y$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 10.9.1.1

Différenciez $x + y$ .

$\frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 10.9.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 10.9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 10.9.1.4

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 10.9.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 10.9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y (\frac{x^{2}}{2} + C) - y^{2} x + C + \int u^{2} d u$

Étape 10.10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y (\frac{x^{2}}{2} + C) - y^{2} x + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Étape 10.11

Simplifiez

$g (x) = a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Étape 10.12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + y$ .

$g (x) = a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

Étape 12

Associez les termes opposés dans $- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$ .

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Étape 12.1

Additionnez $- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ et $\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ .

$f (x, y) = a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + 0 + C$

Étape 12.2

Additionnez $a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x$ et $0$ .

$f (x, y) = a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + C$