Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 12 \sin^{2} (x) \cos (x)$ , $y (0) = 3$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , placez $12$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 12 \int \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u = \sin (x)$ . Alors $d u = \cos (x) d x$ , donc $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.3.2.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = 12 \int u^{2} d u$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$y + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez $12 (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ comme $12 (\frac{1}{3}) u^{3} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 12 (\frac{1}{3}) u^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2

Simplifiez

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Étape 2.3.4.2.1

Associez $12$ et $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{12}{3} u^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.2

Annulez le facteur commun à $12$ et $3$ .

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Étape 2.3.4.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} u^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.4.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} u^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} u^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \frac{4}{1} u^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$y + C_{1} = 4 u^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$y + C_{1} = 4 \sin^{3} (x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = 4 \sin^{3} (x) + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $3$ dans $y = 4 \sin^{3} (x) + K$ .

$3 = 4 \sin^{3} (0) + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $4 \sin^{3} (0) + K = 3$ .

$4 \sin^{3} (0) + K = 3$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $4 \sin^{3} (0) + K$ .

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$4 \cdot 0^{3} + K = 3$

Étape 4.2.1.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 \cdot 0 + K = 3$

Étape 4.2.1.1.3

Multipliez $4$ par $0$ .

$0 + K = 3$

Étape 4.2.1.2

Additionnez $0$ et $K$ .

$K = 3$

Étape 5

Remplacez $K$ par $3$ dans $y = 4 \sin^{3} (x) + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $3$ .

$y = 4 \sin^{3} (x) + 3$