Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d x}{d t} = x^{2} + \frac{1}{9}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}} (x^{2} + \frac{1}{9})$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $x^{2} + \frac{1}{9}$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}} (x^{2} + \frac{1}{9})$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}} \frac{d x}{d t} = 1$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}} d x = 1 d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}} d x = \int d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $\frac{1}{9}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{9} + x^{2}} d x = \int d t$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{9}$ comme ${(\frac{1}{3})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + x^{2}} d x = \int d t$

Étape 2.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C_{1} = \int d t$

Étape 2.2.4

Simplifiez

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Étape 2.2.4.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{3}$ .

$1 \cdot 3 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C_{1} = \int d t$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C_{1} = \int d t$

Étape 2.2.4.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{3}$ .

$3 \arctan (x \cdot 3) + C_{1} = \int d t$

Étape 2.2.4.4

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$3 \arctan (3 x) + C_{1} = \int d t$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$3 \arctan (3 x) + C_{1} = t + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$3 \arctan (3 x) = t + K$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $3 \arctan (3 x) = t + K$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $3 \arctan (3 x) = t + K$ par $3$ .

$\frac{3 \arctan (3 x)}{3} = \frac{t}{3} + \frac{K}{3}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \arctan (3 x)}{3} = \frac{t}{3} + \frac{K}{3}$

Étape 3.1.2.1.2

Divisez $\arctan (3 x)$ par $1$ .

$\arctan (3 x) = \frac{t}{3} + \frac{K}{3}$

Étape 3.2

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$3 x = \tan (\frac{t}{3} + \frac{K}{3})$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $3 x = \tan (\frac{t}{3} + \frac{K}{3})$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x = \tan (\frac{t}{3} + \frac{K}{3})$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\tan (\frac{t}{3} + \frac{K}{3})}{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\tan (\frac{t}{3} + \frac{K}{3})}{3}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\tan (\frac{t}{3} + \frac{K}{3})}{3}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$x = \frac{\tan (\frac{t}{3} + K)}{3}$