Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - 2 x y = 2 x$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - 2 x$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 2 x d x}$

Étape 1.2

Intégrez $- 2 x$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 2 \int x d x}$

Étape 1.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Réécrivez $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez

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Étape 1.2.3.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$e^{- x^{2} + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- x^{2}}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- x^{2}}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x y) = e^{- x^{2}} (2 x)$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2}} (2 x)$

Étape 2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 2 e^{- x^{2}} x$

Étape 2.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 2 e^{- x^{2}} x$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 x y e^{- x^{2}} = 2 x e^{- x^{2}}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] = 2 x e^{- x^{2}}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] d x = \int 2 x e^{- x^{2}} d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{- x^{2}} y = \int 2 x e^{- x^{2}} d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x^{2}} y = 2 \int x e^{- x^{2}} d x$

Étape 6.2

Laissez $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Alors $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 6.2.1

Laissez $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 6.2.1.1

Différenciez $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Étape 6.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 6.2.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 6.2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 6.2.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 6.2.1.3

Différenciez.

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Étape 6.2.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 6.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Étape 6.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Étape 6.2.1.4

Simplifiez

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Étape 6.2.1.4.1

Réorganisez les facteurs de $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Étape 6.2.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Étape 6.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$e^{- x^{2}} y = 2 \int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Étape 6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- x^{2}} y = 2 \int - \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 6.4

Appliquez la règle de la constante.

$e^{- x^{2}} y = 2 (- \frac{1}{2} u_{2} + C)$

Étape 6.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.5.1

Simplifiez

$e^{- x^{2}} y = 2 (- \frac{1}{2} u_{2}) + C$

Étape 6.5.2

Simplifiez

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Étape 6.5.2.1

Associez $u_{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{- x^{2}} y = 2 (- \frac{u_{2}}{2}) + C$

Étape 6.5.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 \frac{u_{2}}{2} + C$

Étape 6.5.2.3

Associez $- 2$ et $\frac{u_{2}}{2}$ .

$e^{- x^{2}} y = \frac{- 2 u_{2}}{2} + C$

Étape 6.5.2.4

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 6.5.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 u_{2}$ .

$e^{- x^{2}} y = \frac{2 (- u_{2})}{2} + C$

Étape 6.5.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.5.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$e^{- x^{2}} y = \frac{2 (- u_{2})}{2 (1)} + C$

Étape 6.5.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{- x^{2}} y = \frac{2 (- u_{2})}{2 \cdot 1} + C$

Étape 6.5.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{- x^{2}} y = \frac{- u_{2}}{1} + C$

Étape 6.5.2.4.2.4

Divisez $- u_{2}$ par $1$ .

$e^{- x^{2}} y = - u_{2} + C$

Étape 6.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - e^{- x^{2}} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{- x^{2}} y = - e^{- x^{2}} + C$ par $e^{- x^{2}}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{- x^{2}} y = - e^{- x^{2}} + C$ par $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{- e^{- x^{2}}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- x^{2}}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{- e^{- x^{2}}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- e^{- x^{2}}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun de $e^{- x^{2}}$ .

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{- e^{- x^{2}}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Étape 7.3.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$y = - 1 + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$