Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + 2 x y - 2 x e^{- x^{2}} = 0$

Étape 1

Ajoutez $2 x e^{- x^{2}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = 2 x e^{- x^{2}}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 2 x$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 2 x d x}$

Étape 2.2

Intégrez $2 x$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 \int x d x}$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Étape 2.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.2.3.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.2.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Étape 2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Étape 2.2.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{1 x^{2} + C}$

Étape 2.2.3.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{x^{2}}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{x^{2}}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} (2 x e^{- x^{2}})$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} (2 x e^{- x^{2}})$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} (x e^{- x^{2}})$

Étape 3.4

Multipliez $e^{x^{2}}$ par $e^{- x^{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1

Déplacez $e^{- x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 (e^{- x^{2}} e^{x^{2}}) x$

Étape 3.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{- x^{2} + x^{2}} x$

Étape 3.4.3

Additionnez $- x^{2}$ et $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{0} x$

Étape 3.5

Simplifiez $2 e^{0} x$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 x$

Étape 3.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 x$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = 2 x$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = 2 x$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int 2 x d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{x^{2}} y = \int 2 x d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{x^{2}} y = 2 \int x d x$

Étape 7.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 7.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.3.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Étape 7.3.2

Simplifiez

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Étape 7.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Étape 7.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{x^{2}} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Étape 7.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{x^{2}} y = 1 x^{2} + C$

Étape 7.3.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$e^{x^{2}} y = x^{2} + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{x^{2}} y = x^{2} + C$ par $e^{x^{2}}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{x^{2}} y = x^{2} + C$ par $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{x^{2}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{x^{2}}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{x^{2}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$