Calcul infinitésimal Exemples

$x \cdot \frac{d y}{d x} + 3 y = \frac{1}{5} x^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x \cdot \frac{d y}{d x} + 3 y = \frac{1}{5} x^{2}$ par $x$ .

$\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{3 y}{x} = \frac{\frac{1}{5} x^{2}}{x}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{3 y}{x} = \frac{\frac{1}{5} x^{2}}{x}$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{\frac{1}{5} x^{2}}{x}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $x$ à partir de $\frac{1}{5} x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (\frac{1}{5} x)}{x}$

Étape 1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (\frac{1}{5} x)}{x^{1}}$

Étape 1.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (\frac{1}{5} x)}{x \cdot 1}$

Étape 1.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (\frac{1}{5} x)}{x \cdot 1}$

Étape 1.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{\frac{1}{5} x}{1}$

Étape 1.3.2.5

Divisez $\frac{1}{5} x$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{1}{5} x$

Étape 1.4

Factorisez $y$ à partir de $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = \frac{1}{5} x$

Étape 1.5

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = \frac{1}{5} x$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{3}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{3}{x}$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 2.2.3

Simplifiez

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{3 \ln (x)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{3})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{3}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $x^{3}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} (\frac{1}{5} x)$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{3}{x}$ et $y$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} (\frac{1}{5} x)$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} (\frac{1}{5} x)$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} (\frac{1}{5} x)$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} (\frac{1}{5} x)$

Étape 3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} (\frac{1}{5} x)$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1}{5} x^{3} x$

Étape 3.4

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1

Déplacez $x$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1}{5} (x \cdot x^{3})$

Étape 3.4.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 3.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1}{5} (x^{1} x^{3})$

Étape 3.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1}{5} x^{1 + 3}$

Étape 3.4.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1}{5} x^{4}$

Étape 3.5

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{4}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{x^{4}}{5}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = \frac{x^{4}}{5}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int \frac{x^{4}}{5} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$x^{3} y = \int \frac{x^{4}}{5} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$x^{3} y = \frac{1}{5} \int x^{4} d x$

Étape 7.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{3} y = \frac{1}{5} (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Étape 7.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.3.1

Réécrivez $\frac{1}{5} (\frac{1}{5} x^{5} + C)$ comme $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$ .

$x^{3} y = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$

Étape 7.3.2

Simplifiez

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Étape 7.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{1}{5}$ .

$x^{3} y = \frac{1}{5 \cdot 5} x^{5} + C$

Étape 7.3.2.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$x^{3} y = \frac{1}{25} x^{5} + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $x^{3} y = \frac{1}{25} x^{5} + C$ par $x^{3}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $x^{3} y = \frac{1}{25} x^{5} + C$ par $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{1}{25} x^{5}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{1}{25} x^{5}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{25} x^{5}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{5}$ et $x^{3}$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $\frac{1}{25} x^{5}$ .

$y = \frac{x^{3} (\frac{1}{25} x^{2})}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Étape 8.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.1.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{x^{3} (\frac{1}{25} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

Étape 8.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{3} (\frac{1}{25} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

Étape 8.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\frac{1}{25} x^{2}}{1} + \frac{C}{x^{3}}$

Étape 8.3.1.1.2.4

Divisez $\frac{1}{25} x^{2}$ par $1$ .

$y = \frac{1}{25} x^{2} + \frac{C}{x^{3}}$

Étape 8.3.1.2

Associez $\frac{1}{25}$ et $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{25} + \frac{C}{x^{3}}$