Calcul infinitésimal Exemples

$(2 x - 3 y + 1) d x - (3 x + 2 y - 4) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 x - 3 y + 1$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x - 3 y + 1]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 3 y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.2.2

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 3 y$ par rapport à $y$ est $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 + 0$

Étape 1.5

Associez des termes.

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Étape 1.5.1

Soustrayez $3$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 + 0$

Étape 1.5.2

Additionnez $- 3$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - (3 x + 2 y - 4)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (3 x + 2 y - 4)]$

Étape 2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (3 x + 2 y - 4)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [3 x + 2 y - 4]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [3 x + 2 y - 4]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 2 y - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 2.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 2.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 2.7

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 + 0 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 2.8

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 2.9

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 + 0)$

Étape 2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.10.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 3$

Étape 2.10.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 3$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 3$ .

$- 3 = - 3$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$- 3 = - 3$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (3 x + 2 y - 4) d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = - (3 x + 2 y - 4)$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - \int 3 x + 2 y - 4 d y$

Étape 5.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = - (\int 3 x d y + \int 2 y d y + \int - 4 d y)$

Étape 5.3

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = - (3 x y + C + \int 2 y d y + \int - 4 d y)$

Étape 5.4

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - (3 x y + C + 2 \int y d y + \int - 4 d y)$

Étape 5.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (3 x y + C + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - 4 d y)$

Étape 5.6

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = - (3 x y + C + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 4 y + C)$

Étape 5.7

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (3 x y + C + 2 (\frac{y^{2}}{2} + C) - 4 y + C)$

Étape 5.8

Simplifiez

$f (x, y) = - (3 x y + y^{2} - 4 y) + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = - (3 x y + y^{2} - 4 y) + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x - 3 y + 1$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (3 x y + y^{2} - 4 y) + g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- (3 x y + y^{2} - 4 y) + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- (3 x y + y^{2} - 4 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (3 x y + y^{2} - 4 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- (3 x y + y^{2} - 4 y)]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (3 x y + y^{2} - 4 y)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [3 x y + y^{2} - 4 y]$ .

$- \frac{d}{d x} [3 x y + y^{2} - 4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Étape 8.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x y + y^{2} - 4 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

$- (\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Étape 8.3.3

Comme $3 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x y$ par rapport à $x$ est $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Étape 8.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Étape 8.3.5

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- (3 y \cdot 1 + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Étape 8.3.6

Comme $- 4 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- (3 y \cdot 1 + 0 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Étape 8.3.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$- (3 y + 0 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Étape 8.3.8

Additionnez $3 y$ et $0$ .

$- (3 y + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Étape 8.3.9

Additionnez $3 y$ et $0$ .

$- (3 y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Étape 8.3.10

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$- 3 y + \frac{d g}{d x} = 2 x - 3 y + 1$

Étape 8.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} - 3 y = 2 x - 3 y + 1$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Ajoutez $3 y$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 2 x - 3 y + 1 + 3 y$

Étape 9.1.2

Associez les termes opposés dans $2 x - 3 y + 1 + 3 y$ .

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Étape 9.1.2.1

Additionnez $- 3 y$ et $3 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 0 + 1$

Étape 9.1.2.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 1$

Étape 10

Déterminez la primitive de $2 x + 1$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 2 x + 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x + 1 d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x + 1 d x$

Étape 10.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (x) = \int 2 x d x + \int d x$

Étape 10.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = 2 \int x d x + \int d x$

Étape 10.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int d x$

Étape 10.6

Appliquez la règle de la constante.

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

Étape 10.7

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + x + C$

Étape 10.8

Simplifiez

$g (x) = x^{2} + x + C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = - (3 x y + y^{2} - 4 y) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (3 x y + y^{2} - 4 y) + x^{2} + x + C$

Étape 12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = - (3 x y) - y^{2} - (- 4 y) + x^{2} + x + C$

Étape 12.2

Simplifiez

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Étape 12.2.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (x, y) = - 3 (x y) - y^{2} - (- 4 y) + x^{2} + x + C$

Étape 12.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$f (x, y) = - 3 (x y) - y^{2} + 4 y + x^{2} + x + C$

$f (x, y) = - 3 x y - y^{2} + 4 y + x^{2} + x + C$