Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + x}{y + 1}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y + 1$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x^{2} + x}{y + 1}$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + x$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x \cdot x + x}{y + 1}$

Étape 1.2.1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x \cdot x + x^{1}}{y + 1}$

Étape 1.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x \cdot x + x \cdot 1}{y + 1}$

Étape 1.2.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x (x + 1)}{y + 1}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $y + 1$ .

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x (x + 1)}{y + 1}$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = x (x + 1)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot 1$

Étape 1.2.4

Multipliez $x$ par $x$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot 1$

Étape 1.2.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + x$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$(y + 1) d y = (x^{2} + x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y + 1 d y = \int x^{2} + x d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int y d y + \int d y = \int x^{2} + x d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int d y = \int x^{2} + x d x$

Étape 2.2.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + y + C_{2} = \int x^{2} + x d x$

Étape 2.2.4

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int x^{2} + x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int x d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

Étape 3.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + K$

Étape 3.3

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.1

Soustrayez $\frac{x^{3}}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{2}}{2} + K$

Étape 3.3.2

Soustrayez $\frac{x^{2}}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} = K$

Étape 3.3.3

Soustrayez $K$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - K = 0$

Étape 3.4

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $6$ , puis simplifiez.

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 (\frac{y^{2}}{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Étape 3.4.2

Simplifiez

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 (3) (\frac{y^{2}}{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot (3 (\frac{y^{2}}{2})) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$3 y^{2} + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{3}}{3}$ dans le numérateur.

$3 y^{2} + 6 y + 6 (\frac{- x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.2.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 y^{2} + 6 y + 3 (2) (\frac{- x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$3 y^{2} + 6 y + 3 \cdot (2 (\frac{- x^{3}}{3})) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$3 y^{2} + 6 y + 2 (- x^{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{2}}{2}$ dans le numérateur.

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 6 (\frac{- x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.4.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 2 (3) (\frac{- x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.4.3

Annulez le facteur commun.

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 2 \cdot (3 (\frac{- x^{2}}{2})) + 6 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.4.4

Réécrivez l’expression.

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 3 (- x^{2}) + 6 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.6

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K = 0$

Étape 3.4.3

Déplacez $6 y$ .

$3 y^{2} - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K + 6 y = 0$

Étape 3.4.4

Remettez dans l’ordre $3 y^{2}$ et $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x^{3} + 3 y^{2} - 3 x^{2} - 6 K + 6 y = 0$

Étape 3.5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.6

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = 6$ et $c = - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K))}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.7

Simplifiez

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Étape 3.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot (- 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.7.1.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot (- 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 (- 2 x^{3}) - 12 (- 3 x^{2}) - 12 (- 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.7.1.4

Simplifiez

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Étape 3.7.1.4.1

Multipliez $- 2$ par $- 12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 24 x^{3} - 12 (- 3 x^{2}) - 12 (- 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.7.1.4.2

Multipliez $- 3$ par $- 12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 24 x^{3} + 36 x^{2} - 12 (- 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.7.1.4.3

Multipliez $- 6$ par $- 12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 24 x^{3} + 36 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.7.1.5

Factorisez $12$ à partir de $36 + 24 x^{3} + 36 x^{2} + 72 K$ .

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Étape 3.7.1.5.1

Factorisez $12$ à partir de $36$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 24 x^{3} + 36 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.7.1.5.2

Factorisez $12$ à partir de $24 x^{3}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (2 x^{3}) + 36 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.7.1.5.3

Factorisez $12$ à partir de $36 x^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (2 x^{3}) + 12 (3 x^{2}) + 72 K}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.7.1.5.4

Factorisez $12$ à partir de $72 K$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (2 x^{3}) + 12 (3 x^{2}) + 12 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.7.1.5.5

Factorisez $12$ à partir de $12 (3) + 12 (2 x^{3})$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 + 2 x^{3}) + 12 (3 x^{2}) + 12 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.7.1.5.6

Factorisez $12$ à partir de $12 (3 + 2 x^{3}) + 12 (3 x^{2})$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2}) + 12 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.7.1.5.7

Factorisez $12$ à partir de $12 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2}) + 12 (6 K)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.7.1.6

Réécrivez $12 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)$ comme $2^{2} \cdot (3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K))$ .

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Étape 3.7.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (3) (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.7.1.6.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K))}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.7.1.6.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K))}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.7.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.7.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{6}$

Étape 3.7.3

Simplifiez $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{6}$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

Étape 3.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{3 (2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K + 3)}}{3}$

$y = - \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{3 (2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K + 3)}}{3}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = - \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + K)}}{3}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{3 (2 x^{3} + 3 x^{2} + K)}}{3}$