Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = e^{3 x} + 2 y$

Étape 1

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} - 2 y = e^{3 x}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - 2$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 2 d x}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{- 2 x + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- 2 x}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- 2 x}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} e^{3 x}$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} e^{3 x}$

Étape 3.3

Multipliez $e^{- 2 x}$ par $e^{3 x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x + 3 x}$

Étape 3.3.2

Additionnez $- 2 x$ et $3 x$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{x}$

Étape 3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = e^{x}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = e^{x}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int e^{x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{- 2 x} y = \int e^{x} d x$

Étape 7

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$e^{- 2 x} y = e^{x} + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{- 2 x} y = e^{x} + C$ par $e^{- 2 x}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{- 2 x} y = e^{x} + C$ par $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{e^{x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- 2 x}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{e^{x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Annulez le facteur commun à $e^{x}$ et $e^{- 2 x}$ .

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Étape 8.3.1.1

Factorisez $e^{- 2 x}$ à partir de $e^{x}$ .

$y = \frac{e^{- 2 x} e^{3 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Étape 8.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{e^{- 2 x} e^{3 x}}{e^{- 2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Étape 8.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{e^{- 2 x} e^{3 x}}{e^{- 2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Étape 8.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{e^{3 x}}{1} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Étape 8.3.1.2.4

Divisez $e^{3 x}$ par $1$ .

$y = e^{3 x} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$