Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- 5} + 4 x^{- 1}$ , $y (1) = 3$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (3 x^{- 5} + 4 x^{- 1}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 3 x^{- 5} + 4 x^{- 1} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- 5} + 4 x^{- 1} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- 5} d x + \int 4 x^{- 1} d x$

Étape 2.3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 3 \int x^{- 5} d x + \int 4 x^{- 1} d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x$

Étape 2.3.4

Simplifiez

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Étape 2.3.4.1

Associez $x^{- 4}$ et $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x$

Étape 2.3.4.2

Placez $x^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x$

Étape 2.3.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C_{2}) + 4 \int x^{- 1} d x$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{- 3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 2.3.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $1$ et $y$ par $3$ dans $y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C$ .

$3 = - \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C$

Étape 4

Résolvez $C$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$ .

$- \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$

Étape 4.2

Simplifiez $- \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{3}{4 \cdot 1} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$- \frac{3}{4} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$

Étape 4.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$- \frac{3}{4} + 4 \ln (1) + C = 3$

Étape 4.2.1.4

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$- \frac{3}{4} + 4 \cdot 0 + C = 3$

Étape 4.2.1.5

Multipliez $4$ par $0$ .

$- \frac{3}{4} + 0 + C = 3$

Étape 4.2.2

Additionnez $- \frac{3}{4}$ et $0$ .

$- \frac{3}{4} + C = 3$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Ajoutez $\frac{3}{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$C = 3 + \frac{3}{4}$

Étape 4.3.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$C = 3 \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{4}$

Étape 4.3.3

Associez $3$ et $\frac{4}{4}$ .

$C = \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{3}{4}$

Étape 4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$C = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4}$

Étape 4.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$C = \frac{12 + 3}{4}$

Étape 4.3.5.2

Additionnez $12$ et $3$ .

$C = \frac{15}{4}$

Étape 5

Remplacez $C$ par $\frac{15}{4}$ dans $y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $C$ par $\frac{15}{4}$ .

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + \frac{15}{4}$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $4 \ln (| x |)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + \ln ({| x |}^{4}) + \frac{15}{4}$

Étape 5.2.2

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{4}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + \ln (x^{4}) + \frac{15}{4}$