Calcul infinitésimal Exemples

$9 x y \frac{d y}{d x} = 8 y^{2} + 5 x^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle en fonction de $\frac{y}{x}$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $9 x y \frac{d y}{d x} = 8 y^{2} + 5 x^{2}$ par $9 x y$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $9 x y \frac{d y}{d x} = 8 y^{2} + 5 x^{2}$ par $9 x y$ .

$\frac{9 x y \frac{d y}{d x}}{9 x y} = \frac{8 y^{2}}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 x y \frac{d y}{d x}}{9 x y} = \frac{8 y^{2}}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Étape 1.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{8 y^{2}}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{8 y^{2}}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Étape 1.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{8 y^{2}}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Étape 1.1.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{8 y^{2}}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Étape 1.1.2.3.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 y^{2}}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.1.1

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 1.1.3.1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $8 y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (8 y)}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Étape 1.1.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.1.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $9 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (8 y)}{y (9 x)} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Étape 1.1.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (8 y)}{y (9 x)} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Étape 1.1.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 y}{9 x} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Étape 1.1.3.1.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 1.1.3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $5 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 y}{9 x} + \frac{x (5 x)}{9 x y}$

Étape 1.1.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $9 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 y}{9 x} + \frac{x (5 x)}{x (9 y)}$

Étape 1.1.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 y}{9 x} + \frac{x (5 x)}{x (9 y)}$

Étape 1.1.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 y}{9 x} + \frac{5 x}{9 y}$

Étape 1.2

Factorisez $\frac{y}{x}$ dans $\frac{8 y}{9 x}$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $\frac{y}{x}$ à partir de $\frac{8 y}{9 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{8}{9} + \frac{5 x}{9 y}$

Étape 1.2.2

Remettez dans l’ordre $\frac{y}{x}$ et $\frac{8}{9}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{9} \cdot \frac{y}{x} + \frac{5 x}{9 y}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation différentielle comme $f (\frac{y}{x})$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $\frac{x}{y}$ dans $\frac{5 x}{9 y}$ .

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Étape 1.3.1.1

Factorisez $\frac{x}{y}$ à partir de $\frac{5 x}{9 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{9} \cdot \frac{y}{x} + \frac{x}{y} \cdot \frac{5}{9}$

Étape 1.3.1.2

Remettez dans l’ordre $\frac{x}{y}$ et $\frac{5}{9}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{9} \cdot \frac{y}{x} + \frac{5}{9} \cdot \frac{x}{y}$

Étape 1.3.2

Réécrivez $\frac{x}{y}$ comme ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{9} \cdot \frac{y}{x} + \frac{5}{9} {(\frac{y}{x})}^{- 1}$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{9} V + \frac{5}{9} V^{- 1}$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{8}{9} V + \frac{5}{9} V^{- 1}$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.1.1

Associez $\frac{8}{9}$ et $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{8 V}{9} + \frac{5}{9} V^{- 1}$

Étape 6.1.1.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{8 V}{9} + \frac{5}{9} \cdot \frac{1}{V}$

Étape 6.1.1.1.3

Multipliez $\frac{5}{9}$ par $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{8 V}{9} + \frac{5}{9 V}$

Étape 6.1.1.2

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{8 V}{9} + \frac{5}{9 V} - V$

Étape 6.1.1.3

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{8 V}{9} + \frac{5}{9 V} - V$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{8 V}{9} + \frac{5}{9 V} - V$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{8 V}{9}}{x} + \frac{\frac{5}{9 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{8 V}{9}}{x} + \frac{\frac{5}{9 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{8 V}{9}}{x} + \frac{\frac{5}{9 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{8 V}{9} + \frac{5}{9 V} - V}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2

Pour écrire $- V$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{8 V}{9} - V \cdot \frac{9}{9}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.3.3.3.1

Associez $- V$ et $\frac{9}{9}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{8 V}{9} + \frac{- V \cdot 9}{9}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{8 V - V \cdot 9}{9}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.3.3.3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.1

Factorisez $V$ à partir de $8 V - V \cdot 9$ .

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Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.1.1

Factorisez $V$ à partir de $8 V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{V \cdot 8 - V \cdot 9}{9}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.1.2

Factorisez $V$ à partir de $- V \cdot 9$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{V \cdot 8 + V (- 1 \cdot 9)}{9}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.1.3

Factorisez $V$ à partir de $V \cdot 8 + V (- 1 \cdot 9)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{V (8 - 1 \cdot 9)}{9}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{V (8 - 9)}{9}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.3

Soustrayez $9$ de $8$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{V \cdot - 1}{9}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{- 1 \cdot V}{9}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} - \frac{V}{9}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1.3.3.4.1

Pour écrire $- \frac{V}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} - \frac{V}{9} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.2

Multipliez $\frac{V}{9}$ par $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} - \frac{V \cdot V}{9 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5 - V \cdot V}{9 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.4

Multipliez $V$ par $V$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.1.3.3.4.4.1

Déplacez $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5 - (V \cdot V)}{9 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.4.2

Multipliez $V$ par $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5 - V^{2}}{9 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d V}{d x} = \frac{5 - V^{2}}{9 V} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.6

Multipliez $\frac{5 - V^{2}}{9 V}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{5 - V^{2}}{9 V x}$

Étape 6.1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d V}{d x} = \frac{5 - V^{2}}{9 V} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{9 V}{5 - V^{2}}$ .

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{9 V}{5 - V^{2}} (\frac{5 - V^{2}}{9 V} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 6.1.4

Simplifiez

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Étape 6.1.4.1

Multipliez $\frac{5 - V^{2}}{9 V}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{9 V}{5 - V^{2}} \cdot \frac{5 - V^{2}}{9 V x}$

Étape 6.1.4.2

Annulez le facteur commun de $9 V$ .

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Étape 6.1.4.2.1

Factorisez $9 V$ à partir de $9 V x$ .

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{9 V}{5 - V^{2}} \cdot \frac{5 - V^{2}}{9 V (x)}$

Étape 6.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{9 V}{5 - V^{2}} \cdot \frac{5 - V^{2}}{9 V x}$

Étape 6.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{5 - V^{2}} \cdot \frac{5 - V^{2}}{x}$

Étape 6.1.4.3

Annulez le facteur commun de $5 - V^{2}$ .

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Étape 6.1.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{5 - V^{2}} \cdot \frac{5 - V^{2}}{x}$

Étape 6.1.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 6.1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{9 V}{5 - V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Comme $9$ est constant par rapport à $V$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$9 \int \frac{V}{5 - V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2

Laissez $u = 5 - V^{2}$ . Alors $d u = - 2 V d V$ , donc $- \frac{1}{2} d u = V d V$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.2.2.2.1

Laissez $u = 5 - V^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d V}$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Différenciez $5 - V^{2}$ .

$\frac{d}{d V} [5 - V^{2}]$

Étape 6.2.2.2.1.2

Différenciez.

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Étape 6.2.2.2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - V^{2}$ par rapport à $V$ est $\frac{d}{d V} [5] + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$ .

$\frac{d}{d V} [5] + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$

Étape 6.2.2.2.1.2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $V$ , la dérivée de $5$ par rapport à $V$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$

Étape 6.2.2.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d V} [- V^{2}]$ .

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Étape 6.2.2.2.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $V$ , la dérivée de $- V^{2}$ par rapport à $V$ est $- \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Étape 6.2.2.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ est $n V^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - (2 V)$

Étape 6.2.2.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2 V$

Étape 6.2.2.2.1.4

Soustrayez $2 V$ de $0$ .

$- 2 V$

Étape 6.2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$9 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3

Simplifiez

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Étape 6.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$9 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$9 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$9 \int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$9 (- \int \frac{1}{2 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.5

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$- 9 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- 9 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.7

Simplifiez

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Étape 6.2.2.7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 9$ .

$\frac{- 9}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{9}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- \frac{9}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.9

Simplifiez

$- \frac{9}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 - V^{2}$ .

$- \frac{9}{2} \ln (| 5 - V^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- \frac{9}{2} \ln (| 5 - V^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{9}{2} \ln (| 5 - V^{2} |) = \ln (| x |) + C$

Étape 6.3

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- \frac{2}{9}$ .

$- \frac{2}{9} (- \frac{9}{2} \ln (| 5 - V^{2} |)) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.1

Simplifiez $- \frac{2}{9} (- \frac{9}{2} \ln (| 5 - V^{2} |))$ .

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Étape 6.3.2.1.1.1

Associez $\ln (| 5 - V^{2} |)$ et $\frac{9}{2}$ .

$- \frac{2}{9} (- \frac{\ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9}{2}) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{9}$ dans le numérateur.

$\frac{- 2}{9} (- \frac{\ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9}{2}) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.2.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{- 2}{9} \cdot \frac{- \ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9}{2} = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{9} \cdot \frac{- \ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9}{2} = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{9} \cdot \frac{- \ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9}{2} = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{9} (- \ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.1.3.1

Factorisez $9$ à partir de $- \ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9$ .

$\frac{- 1}{9} (9 \cdot (- \ln (| 5 - V^{2} |))) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{9} (9 \cdot (- \ln (| 5 - V^{2} |))) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$- - \ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.4

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.4.2

Multipliez $\ln (| 5 - V^{2} |)$ par $1$ .

$\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez $- \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.1

Simplifiez les termes.

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Étape 6.3.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2}{9} \ln (| x |) - \frac{2}{9} C$

Étape 6.3.2.2.1.1.2

Associez $\ln (| x |)$ et $\frac{2}{9}$ .

$\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{\ln (| x |) \cdot 2}{9} - \frac{2}{9} C$

Étape 6.3.2.2.1.1.3

Associez $C$ et $\frac{2}{9}$ .

$\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{\ln (| x |) \cdot 2}{9} - \frac{C \cdot 2}{9}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.2.1

Déplacez $2$ à gauche de $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2 \cdot \ln (| x |)}{9} - \frac{C \cdot 2}{9}$

Étape 6.3.2.2.1.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $C$ .

$\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2 \ln (| x |)}{9} - \frac{2 C}{9}$

Étape 6.3.3

Multiplier chaque terme dans $\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2 \ln (| x |)}{9} - \frac{2 C}{9}$ par $9$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2 \ln (| x |)}{9} - \frac{2 C}{9}$ par $9$ .

$\ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9 = - \frac{2 \ln (| x |)}{9} \cdot 9 - \frac{2 C}{9} \cdot 9$

Étape 6.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.1

Déplacez $9$ à gauche de $\ln (| 5 - V^{2} |)$ .

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2 \ln (| x |)}{9} \cdot 9 - \frac{2 C}{9} \cdot 9$

Étape 6.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 6.3.3.3.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 \ln (| x |)}{9}$ dans le numérateur.

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) = \frac{- 2 \ln (| x |)}{9} \cdot 9 - \frac{2 C}{9} \cdot 9$

Étape 6.3.3.3.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) = \frac{- 2 \ln (| x |)}{9} \cdot 9 - \frac{2 C}{9} \cdot 9$

Étape 6.3.3.3.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) = - 2 \ln (| x |) - \frac{2 C}{9} \cdot 9$

Étape 6.3.3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 6.3.3.3.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 C}{9}$ dans le numérateur.

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) = - 2 \ln (| x |) + \frac{- 2 C}{9} \cdot 9$

Étape 6.3.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) = - 2 \ln (| x |) + \frac{- 2 C}{9} \cdot 9$

Étape 6.3.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) = - 2 \ln (| x |) - 2 C$

Étape 6.3.4

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) + 2 \ln (| x |) = - 2 C$

Étape 6.3.5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.5.1

Simplifiez $9 \ln (| 5 - V^{2} |) + 2 \ln (| x |)$ .

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Étape 6.3.5.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.5.1.1.1

Simplifiez $9 \ln (| 5 - V^{2} |)$ en déplaçant $9$ dans le logarithme.

$\ln ({| 5 - V^{2} |}^{9}) + 2 \ln (| x |) = - 2 C$

Étape 6.3.5.1.1.2

Simplifiez $2 \ln (| x |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln ({| 5 - V^{2} |}^{9}) + \ln ({| x |}^{2}) = - 2 C$

Étape 6.3.5.1.1.3

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln ({| 5 - V^{2} |}^{9}) + \ln (x^{2}) = - 2 C$

Étape 6.3.5.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| 5 - V^{2} |}^{9} x^{2}) = - 2 C$

Étape 6.3.5.1.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln ({| 5 - V^{2} |}^{9} x^{2})$ .

$\ln (x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9}) = - 2 C$

Étape 6.3.6

Pour résoudre $V$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9})} = e^{- 2 C}$

Étape 6.3.7

Réécrivez $\ln (x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9}) = - 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9}$

Étape 6.3.8

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.8.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9} = e^{- 2 C}$ .

$x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9} = e^{- 2 C}$

Étape 6.3.8.2

Divisez chaque terme dans $x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9} = e^{- 2 C}$ par $x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 6.3.8.2.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9} = e^{- 2 C}$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9}}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Étape 6.3.8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 6.3.8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9}}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Étape 6.3.8.2.2.1.2

Divisez ${| 5 - V^{2} |}^{9}$ par $1$ .

${| 5 - V^{2} |}^{9} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Étape 6.3.8.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$| 5 - V^{2} | = \sqrt[9]{\frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}$

Étape 6.3.8.4

Simplifiez $\sqrt[9]{\frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}$ .

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Étape 6.3.8.4.1

Réécrivez $\sqrt[9]{\frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}$ comme $\frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}}}{\sqrt[9]{x^{2}}}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}}}{\sqrt[9]{x^{2}}}$

Étape 6.3.8.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}}}{\sqrt[9]{x^{2}}}$ par $\frac{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}}}{\sqrt[9]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}$

Étape 6.3.8.4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.8.4.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}}}{\sqrt[9]{x^{2}}}$ par $\frac{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{\sqrt[9]{x^{2}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}$

Étape 6.3.8.4.3.2

Élevez $\sqrt[9]{x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}$

Étape 6.3.8.4.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{1 + 8}}$

Étape 6.3.8.4.3.4

Additionnez $1$ et $8$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{9}}$

Étape 6.3.8.4.3.5

Réécrivez ${\sqrt[9]{x^{2}}}^{9}$ comme $x^{2}$ .

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Étape 6.3.8.4.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[9]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{9}}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{{(x^{\frac{2}{9}})}^{9}}$

Étape 6.3.8.4.3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{\frac{2}{9} \cdot 9}}$

Étape 6.3.8.4.3.5.3

Associez $\frac{2}{9}$ et $9$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{\frac{2 \cdot 9}{9}}}$

Étape 6.3.8.4.3.5.4

Multipliez $2$ par $9$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{\frac{18}{9}}}$

Étape 6.3.8.4.3.5.5

Annulez le facteur commun à $18$ et $9$ .

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Étape 6.3.8.4.3.5.5.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{\frac{9 \cdot 2}{9}}}$

Étape 6.3.8.4.3.5.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.8.4.3.5.5.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{\frac{9 \cdot 2}{9 (1)}}}$

Étape 6.3.8.4.3.5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{\frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 1}}}$

Étape 6.3.8.4.3.5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{\frac{2}{1}}}$

Étape 6.3.8.4.3.5.5.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{2}}$

Étape 6.3.8.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.8.4.4.1

Réécrivez ${\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}$ comme $\sqrt[9]{{(x^{2})}^{8}}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} \sqrt[9]{{(x^{2})}^{8}}}{x^{2}}$

Étape 6.3.8.4.4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{8}$ .

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Étape 6.3.8.4.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} \sqrt[9]{x^{2 \cdot 8}}}{x^{2}}$

Étape 6.3.8.4.4.2.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} \sqrt[9]{x^{16}}}{x^{2}}$

Étape 6.3.8.4.4.3

Factorisez $x^{9}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} \sqrt[9]{x^{9} x^{7}}}{x^{2}}$

Étape 6.3.8.4.4.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} x \sqrt[9]{x^{7}}}{x^{2}}$

Étape 6.3.8.4.4.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$| 5 - V^{2} | = \frac{x \sqrt[9]{e^{- 2 C} x^{7}}}{x^{2}}$

Étape 6.3.8.4.5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.3.8.4.5.1

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 6.3.8.4.5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x \sqrt[9]{e^{- 2 C} x^{7}}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{x \sqrt[9]{e^{- 2 C} x^{7}}}{x^{2}}$

Étape 6.3.8.4.5.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.8.4.5.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{x \sqrt[9]{e^{- 2 C} x^{7}}}{x \cdot x}$

Étape 6.3.8.4.5.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$| 5 - V^{2} | = \frac{x \sqrt[9]{e^{- 2 C} x^{7}}}{x \cdot x}$

Étape 6.3.8.4.5.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C} x^{7}}}{x}$

Étape 6.3.8.4.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C} x^{7}}}{x}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}$

Étape 6.3.8.5

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$5 - V^{2} = \pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}$

Étape 6.3.8.6

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$- V^{2} = \pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x} - 5$

Étape 6.3.8.7

Divisez chaque terme dans $- V^{2} = \pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x} - 5$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.3.8.7.1

Divisez chaque terme dans $- V^{2} = \pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x} - 5$ par $- 1$ .

$\frac{- V^{2}}{- 1} = \frac{\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Étape 6.3.8.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.8.7.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{V^{2}}{1} = \frac{\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Étape 6.3.8.7.2.2

Divisez $V^{2}$ par $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Étape 6.3.8.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.8.7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.8.7.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}}{- 1}$ .

$V^{2} = - 1 \cdot (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}) + \frac{- 5}{- 1}$

Étape 6.3.8.7.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x})$ comme $- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x})$ .

$V^{2} = - (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}) + \frac{- 5}{- 1}$

Étape 6.3.8.7.3.1.3

Divisez $- 5$ par $- 1$ .

$V^{2} = - (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}) + 5$

Étape 6.3.8.8

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$V = \pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}) + 5}$

Étape 6.4

Simplifiez la constante d’intégration.

$V = \pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} C}}{x}) + 5}$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} C}}{x}) + 5}$

Étape 8

Résolvez $\frac{y}{x} = \pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} C}}{x}) + 5}$ pour $y$ .

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Étape 8.1

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} C}}{x}) + 5}) x$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} C}}{x}) + 5}) x$

Étape 8.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (\pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} C}}{x}) + 5}) x$