Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d s}{d t} = 8 t {(3 t^{2} - 5)}^{3}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d s = 8 t {(3 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d s = \int 8 t {(3 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$s + C_{1} = \int 8 t {(3 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $t$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$s + C_{1} = 8 \int t {(3 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Étape 2.3.2

Laissez $u = 3 t^{2} - 5$ . Alors $d u = 6 t d t$ , donc $\frac{1}{6} d u = t d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = 3 t^{2} - 5$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $3 t^{2} - 5$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{2} - 5]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 t^{2} - 5$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Étape 2.3.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ .

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Étape 2.3.2.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t^{2}$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Étape 2.3.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 5]$

Étape 2.3.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 t + \frac{d}{d t} [- 5]$

Étape 2.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.2.1.4.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $t$ est $0$ .

$6 t + 0$

Étape 2.3.2.1.4.2

Additionnez $6 t$ et $0$ .

$6 t$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$s + C_{1} = 8 \int u^{3} \frac{1}{6} d u$

Étape 2.3.3

Associez $u^{3}$ et $\frac{1}{6}$ .

$s + C_{1} = 8 \int \frac{u^{3}}{6} d u$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$s + C_{1} = 8 (\frac{1}{6} \int u^{3} d u)$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $8$ .

$s + C_{1} = \frac{8}{6} \int u^{3} d u$

Étape 2.3.5.2

Annulez le facteur commun à $8$ et $6$ .

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Étape 2.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$s + C_{1} = \frac{2 (4)}{6} \int u^{3} d u$

Étape 2.3.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3} \int u^{3} d u$

Étape 2.3.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3} \int u^{3} d u$

Étape 2.3.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$s + C_{1} = \frac{4}{3} \int u^{3} d u$

Étape 2.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{4}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Réécrivez $\frac{4}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ comme $\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez

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Étape 2.3.7.2.1

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{4}{3 \cdot 4} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$s + C_{1} = \frac{4}{12} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $12$ .

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Étape 2.3.7.2.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$s + C_{1} = \frac{4 (1)}{12} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.7.2.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$s + C_{1} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$s + C_{1} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$s + C_{1} = \frac{1}{3} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 t^{2} - 5$ .

$s + C_{1} = \frac{1}{3} {(3 t^{2} - 5)}^{4} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$s = \frac{1}{3} {(3 t^{2} - 5)}^{4} + K$