Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - 3 y = e^{2 x}$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - 3$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 3 d x}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{- 3 x + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- 3 x}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- 3 x}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 y) = e^{- 3 x} e^{2 x}$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x} e^{2 x}$

Étape 2.3

Multipliez $e^{- 3 x}$ par $e^{2 x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x + 2 x}$

Étape 2.3.2

Additionnez $- 3 x$ et $2 x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- x}$

Étape 2.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 y e^{- 3 x} = e^{- x}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] = e^{- x}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] d x = \int e^{- x} d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{- 3 x} y = \int e^{- x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 6.1.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 6.1.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 6.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{- 3 x} y = \int - e^{u} d u$

Étape 6.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 3 x} y = - \int e^{u} d u$

Étape 6.3

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{- 3 x} y = - (e^{u} + C)$

Étape 6.4

Simplifiez

$e^{- 3 x} y = - e^{u} + C$

Étape 6.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$e^{- 3 x} y = - e^{- x} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{- 3 x} y = - e^{- x} + C$ par $e^{- 3 x}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{- 3 x} y = - e^{- x} + C$ par $e^{- 3 x}$ .

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- e^{- x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- 3 x}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- e^{- x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- e^{- x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun à $e^{- x}$ et $e^{- 3 x}$ .

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Étape 7.3.1.1

Factorisez $e^{- 3 x}$ à partir de $- e^{- x}$ .

$y = \frac{e^{- 3 x} (- e^{2 x})}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Étape 7.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{e^{- 3 x} (- e^{2 x})}{e^{- 3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Étape 7.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{e^{- 3 x} (- e^{2 x})}{e^{- 3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Étape 7.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- e^{2 x}}{1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Étape 7.3.1.2.4

Divisez $- e^{2 x}$ par $1$ .

$y = - e^{2 x} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$