Calcul infinitésimal Exemples

$x y d y = (x^{2} + 2 y^{2}) d x$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Soustrayez $(x^{2} + 2 y^{2}) d x$ des deux côtés de l’équation.

$x y d y - (x^{2} + 2 y^{2}) d x = 0$

Étape 1.2

Réécrivez.

$- (x^{2} + 2 y^{2}) d x + x y d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = - (x^{2} + 2 y^{2})$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x^{2} + 2 y^{2})]$

Étape 2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- (x^{2} + 2 y^{2})$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [x^{2} + 2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x^{2} + 2 y^{2}]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

Étape 2.4

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

Étape 2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$

Étape 2.6

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y^{2}$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Étape 2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 (2 y)$

Étape 2.9

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 4 y$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x y$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.2

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1$

Étape 3.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 4 y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $y$ .

$- 4 y = y$

Étape 4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$- 4 y = y$ n’est pas une identité.

Étape 5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 5.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 4 y$ .

$\frac{- 4 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 5.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $y$ .

$\frac{- 4 y - y}{N}$

Étape 5.3

Remplacez $N$ par $x y$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez $N$ par $x y$ .

$\frac{- 4 y - y}{x y}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $y$ de $- 4 y$ .

$\frac{- 5 y}{x y}$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 y}{x y}$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 5}{x}$

Étape 5.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{x}$

Étape 5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{5}{x} d x}$

Étape 6

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{5}{x} d x}$ .

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Étape 6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{5}{x} d x}$

Étape 6.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (5 \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 6.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 6.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 6.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 5 \ln (| x |)} + C$

Étape 6.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.6.1

Simplifiez $- 5 \ln (| x |)$ en déplaçant $- 5$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 5})} + C$

Étape 6.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 5} + C$

Étape 6.6.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{5}} + C$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de $- (x^{2} + 2 y^{2}) d x + x y d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{5}}$ .

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Étape 7.1

Multipliez $- (x^{2} + 2 y^{2})$ par $\frac{1}{x^{5}}$ .

$- (x^{2} + 2 y^{2}) \frac{1}{x^{5}} d x + x y d y = 0$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$(- x^{2} - (2 y^{2})) \frac{1}{x^{5}} d x + x y d y = 0$

Étape 7.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(- x^{2} - 2 y^{2}) \frac{1}{x^{5}} d x + x y d y = 0$

Étape 7.4

Multipliez $- x^{2} - 2 y^{2}$ par $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}} d x + x y d y = 0$

Étape 7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - 2 y^{2}}{x^{5}} d x + x y d y = 0$

Étape 7.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 y^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - (2 y^{2})}{x^{5}} d x + x y d y = 0$

Étape 7.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (2 y^{2})$ .

$\frac{- (x^{2} + 2 y^{2})}{x^{5}} d x + x y d y = 0$

Étape 7.8

Réécrivez $- (x^{2} + 2 y^{2})$ comme $- 1 (x^{2} + 2 y^{2})$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + 2 y^{2})}{x^{5}} d x + x y d y = 0$

Étape 7.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}} d x + x y d y = 0$

Étape 7.10

Multipliez $x y$ par $\frac{1}{x^{5}}$ .

$- \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}} d x + x y \frac{1}{x^{5}} d y = 0$

Étape 7.11

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.11.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$- \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}} d x + x (y) \frac{1}{x^{5}} d y = 0$

Étape 7.11.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$- \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}} d x + x (y) \frac{1}{x \cdot x^{4}} d y = 0$

Étape 7.11.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}} d x + x y \frac{1}{x \cdot x^{4}} d y = 0$

Étape 7.11.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}} d x + y \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Étape 7.12

Associez $y$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}} d x + \frac{y}{x^{4}} d y = 0$

Étape 8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x^{4}} d y$

Étape 9

Intégrez $N (x, y) = \frac{y}{x^{4}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 9.1

Comme $\frac{1}{x^{4}}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{x^{4}}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{4}} \int y d y$

Étape 9.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{4}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 9.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.3.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ comme $\frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Étape 9.3.2

Simplifiez

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Étape 9.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{x^{4}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{4} \cdot 2} y^{2} + C$

Étape 9.3.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 \cdot x^{4}} y^{2} + C$

Étape 9.3.2.3

Multipliez $2$ par $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 x^{4}} y^{2} + C$

Étape 9.3.2.4

Associez $\frac{1}{2 x^{4}}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + C$

Étape 10

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)$

Étape 11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Étape 12

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 12.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Étape 12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Étape 12.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{4}}]$ .

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Étape 12.3.1

Comme $\frac{y^{2}}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{y^{2}}{2 x^{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Étape 12.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}}$ comme ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Étape 12.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{4}$ .

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Étape 12.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Étape 12.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Étape 12.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Étape 12.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Étape 12.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Étape 12.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Étape 12.3.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Étape 12.3.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Étape 12.3.7

Multipliez $x^{- 8}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.3.7.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Étape 12.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y^{2}}{2} (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Étape 12.3.7.3

Soustrayez $8$ de $3$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Étape 12.3.8

Associez $- 4$ et $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{- 4 y^{2}}{2} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Étape 12.3.9

Associez $\frac{- 4 y^{2}}{2}$ et $x^{- 5}$ .

$\frac{- 4 y^{2} x^{- 5}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Étape 12.3.10

Placez $x^{- 5}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4 y^{2}}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Étape 12.3.11

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 12.3.11.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 y^{2}$ .

$\frac{2 (- 2 y^{2})}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Étape 12.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.3.11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{5}$ .

$\frac{2 (- 2 y^{2})}{2 (x^{5})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Étape 12.3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 2 y^{2})}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Étape 12.3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 y^{2}}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Étape 12.3.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 y^{2}}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Étape 12.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{2 y^{2}}{x^{5}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Étape 12.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{2}}{x^{5}} = - \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$

Étape 13

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 13.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 13.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 13.1.1.1

Ajoutez $\frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{2}}{x^{5}} + \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}} = 0$

Étape 13.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{2} + x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}} = 0$

Étape 13.1.1.3

Associez les termes opposés dans $- 2 y^{2} + x^{2} + 2 y^{2}$ .

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Étape 13.1.1.3.1

Additionnez $- 2 y^{2}$ et $2 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} + 0}{x^{5}} = 0$

Étape 13.1.1.3.2

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2}}{x^{5}} = 0$

Étape 13.1.1.4

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{5}$ .

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Étape 13.1.1.4.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{5}} = 0$

Étape 13.1.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.1.1.4.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{5}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{3}} = 0$

Étape 13.1.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{3}} = 0$

Étape 13.1.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x^{3}} = 0$

Étape 13.1.2

Soustrayez $\frac{1}{x^{3}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x^{3}}$

Étape 14

Déterminez la primitive de $- \frac{1}{x^{3}}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 14.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x^{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 14.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 14.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = - \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 14.4

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$g (x) = - \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 14.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 14.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = - \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 14.5.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$g (x) = - \int x^{- 3} d x$

Étape 14.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$g (x) = - (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Étape 14.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 14.7.1

Simplifiez

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Étape 14.7.1.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = - (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Étape 14.7.1.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$g (x) = - (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Étape 14.7.2

Simplifiez

$g (x) = - - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Étape 14.7.3

Simplifiez

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Étape 14.7.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$g (x) = 1 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Étape 14.7.3.2

Multipliez $\frac{1}{2 x^{2}}$ par $1$ .

$g (x) = \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Étape 15

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + \frac{1}{2 x^{2}} + C$