Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = e^{3 x} \cdot e^{2 y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{e^{2 y}}$ .

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (e^{3 x} \cdot e^{2 y})$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{2 y}$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $e^{2 y}$ à partir de $e^{3 x} \cdot e^{2 y}$ .

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (e^{2 y} (e^{3 x - 2 y} \cdot e^{2 y}))$

Étape 1.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (e^{2 y} (e^{3 x - 2 y} \cdot e^{2 y}))$

Étape 1.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = e^{3 x - 2 y} \cdot e^{2 y}$

Étape 1.2.2

Multipliez $e^{3 x - 2 y}$ par $e^{2 y}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = e^{3 x - 2 y + 2 y}$

Étape 1.2.2.2

Associez les termes opposés dans $3 x - 2 y + 2 y$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Additionnez $- 2 y$ et $2 y$ .

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = e^{3 x + 0}$

Étape 1.2.2.2.2

Additionnez $3 x$ et $0$ .

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = e^{3 x}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{e^{2 y}} d y = e^{3 x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{e^{2 y}} d y = \int e^{3 x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.1

Inversez l’exposant de $e^{2 y}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\int 1 {(e^{2 y})}^{- 1} d y = \int e^{3 x} d x$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{2 y})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{2 y \cdot - 1} d y = \int e^{3 x} d x$

Étape 2.2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\int 1 e^{- 2 y} d y = \int e^{3 x} d x$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $e^{- 2 y}$ par $1$ .

$\int e^{- 2 y} d y = \int e^{3 x} d x$

Étape 2.2.2

Laissez $u_{1} = - 2 y$ . Alors $d u_{1} = - 2 d y$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Laissez $u_{1} = - 2 y$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Différenciez $- 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

Étape 2.2.2.1.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 y$ par rapport à $y$ est $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} = \int e^{3 x} d x$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} = \int e^{3 x} d x$

Étape 2.2.3.2

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int e^{3 x} d x$

Étape 2.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int e^{3 x} d x$

Étape 2.2.5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) = \int e^{3 x} d x$

Étape 2.2.6

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int e^{3 x} d x$

Étape 2.2.7

Simplifiez

$- \frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1} = \int e^{3 x} d x$

Étape 2.2.8

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- 2 y$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \int e^{3 x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u_{2} = 3 x$ . Alors $d u_{2} = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u_{2} = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.3.1.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 2.3.1.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \int e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2}$

Étape 2.3.2

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u_{2}} + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \frac{1}{3} e^{3 x} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} = \frac{1}{3} e^{3 x} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} e^{- 2 y}) = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $- 2 (- \frac{1}{2} e^{- 2 y})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $e^{- 2 y}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{2}) = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{- 2 y}}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$- - e^{- 2 y} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Étape 3.2.1.1.3

Multipliez.

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Étape 3.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 e^{- 2 y} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Étape 3.2.1.1.3.2

Multipliez $e^{- 2 y}$ par $1$ .

$e^{- 2 y} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $- 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $e^{3 x}$ .

$e^{- 2 y} = - 2 (\frac{e^{3 x}}{3} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{- 2 y} = - 2 \frac{e^{3 x}}{3} - 2 K$

Étape 3.2.2.1.3

Associez $- 2$ et $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$e^{- 2 y} = \frac{- 2 e^{3 x}}{3} - 2 K$

Étape 3.2.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- 2 y} = - \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K$

Étape 3.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- 2 y}) = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$

Étape 3.4

Développez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Développez $\ln (e^{- 2 y})$ en déplaçant $- 2 y$ hors du logarithme.

$- 2 y \ln (e) = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$

Étape 3.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$- 2 y \cdot 1 = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$

Étape 3.4.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 y = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$

Étape 3.5

Divisez chaque terme dans $- 2 y = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 3.5.1

Divisez chaque terme dans $- 2 y = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)}{- 2}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)}{- 2}$

Étape 3.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)}{- 2}$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)}{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = - \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} + K)}{2}$