Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 - y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $1 - y$ .

$(1 - y) \frac{d y}{d x} = (1 - y) \frac{x^{2}}{1 - y}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $1 - y$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$(1 - y) \frac{d y}{d x} = (1 - y) \frac{x^{2}}{1 - y}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$(1 - y) \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$(1 - y) d y = x^{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 1 - y d y = \int x^{2} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d y + \int - y d y = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} + \int - y d y = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} - \int y d y = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$y + C_{1} - (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$y - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int x^{2} d x$

Étape 2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} + y = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Associez $y^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y^{2}}{2} + y = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$- \frac{y^{2}}{2} + y = \frac{x^{3}}{3} + K$

Étape 3.3

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.1

Soustrayez $\frac{x^{3}}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{3}}{3} = K$

Étape 3.3.2

Soustrayez $K$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{3}}{3} - K = 0$

Étape 3.4

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $6$ , puis simplifiez.

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 (- \frac{y^{2}}{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Étape 3.4.2

Simplifiez

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y^{2}}{2}$ dans le numérateur.

$6 (\frac{- y^{2}}{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 (3) (\frac{- y^{2}}{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot (3 (\frac{- y^{2}}{2})) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$3 (- y^{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 y^{2} + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{3}}{3}$ dans le numérateur.

$- 3 y^{2} + 6 y + 6 (\frac{- x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.3.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$- 3 y^{2} + 6 y + 3 (2) (\frac{- x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$- 3 y^{2} + 6 y + 3 \cdot (2 (\frac{- x^{3}}{3})) + 6 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$- 3 y^{2} + 6 y + 2 (- x^{3}) + 6 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 6 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.5

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$- 3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} - 6 K = 0$

Étape 3.4.3

Déplacez $6 y$ .

$- 3 y^{2} - 2 x^{3} - 6 K + 6 y = 0$

Étape 3.4.4

Remettez dans l’ordre $- 3 y^{2}$ et $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x^{3} - 3 y^{2} - 6 K + 6 y = 0$

Étape 3.5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.6

Remplacez les valeurs $a = - 3$ , $b = 6$ et $c = - 2 x^{3} - 6 K$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot (- 2 x^{3} - 6 K))}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.7

Simplifiez

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Étape 3.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{3} - 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.7.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot (- 2 x^{3} - 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 (- 2 x^{3}) + 12 (- 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.7.1.4

Multipliez $- 2$ par $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 24 x^{3} + 12 (- 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.7.1.5

Multipliez $- 6$ par $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 24 x^{3} - 72 K}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.7.1.6

Factorisez $12$ à partir de $36 - 24 x^{3} - 72 K$ .

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Étape 3.7.1.6.1

Factorisez $12$ à partir de $36$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) - 24 x^{3} - 72 K}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.7.1.6.2

Factorisez $12$ à partir de $- 24 x^{3}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (- 2 x^{3}) - 72 K}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.7.1.6.3

Factorisez $12$ à partir de $- 72 K$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (- 2 x^{3}) + 12 (- 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.7.1.6.4

Factorisez $12$ à partir de $12 (3) + 12 (- 2 x^{3})$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 - 2 x^{3}) + 12 (- 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.7.1.6.5

Factorisez $12$ à partir de $12 (3 - 2 x^{3}) + 12 (- 6 K)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.7.1.7

Réécrivez $12 (3 - 2 x^{3} - 6 K)$ comme $2^{2} \cdot (3 (3 - 2 x^{3} - 6 K))$ .

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Étape 3.7.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (3) (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.7.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 - 2 x^{3} - 6 K))}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.7.1.7.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 - 2 x^{3} - 6 K))}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.7.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.7.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{- 6}$

Étape 3.7.3

Simplifiez $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{- 6}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{3}$

Étape 3.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{3}$

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{3}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} + K)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} + K)}}{3}$