Calcul infinitésimal Exemples

Résoudre l''équation différentielle (e^x+2xe^(-y))dx+(e^x+e^(-y))dy=0
Étape 1
Déterminez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Différenciez par rapport à .
Étape 1.2
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.2
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.2.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.3.2.2
Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que est =.
Étape 1.3.2.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.3.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.3.5
Multipliez par .
Étape 1.3.6
Déplacez à gauche de .
Étape 1.3.7
Réécrivez comme .
Étape 1.3.8
Multipliez par .
Étape 1.4
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1
Soustrayez de .
Étape 1.4.2
Réorganisez les facteurs de .
Étape 1.4.3
Remettez les facteurs dans l’ordre dans .
Étape 2
Déterminez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Différenciez par rapport à .
Étape 2.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3
Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que est =.
Étape 2.4
Différenciez en utilisant la règle de la constante.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.4.2
Additionnez et .
Étape 3
Vérifiez que .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1
Remplacez par et par .
Étape 3.2
Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.
n’est pas une identité.
n’est pas une identité.
Étape 4
Déterminez le facteur d’intégration .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1
Remplacez par .
Étape 4.2
Remplacez par .
Étape 4.3
Remplacez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.1
Remplacez par .
Étape 4.3.2
Multipliez par .
Étape 4.3.3
Remplacez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.3.1
Annulez le facteur commun.
Étape 4.3.3.2
Réécrivez l’expression.
Étape 4.4
Déterminez le facteur d’intégration .
Étape 5
Évaluez l’intégrale .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Appliquez la règle de la constante.
Étape 5.2
Simplifiez
Étape 6
Multipliez les deux côtés de par le facteur d’intégration .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1
Multipliez par .
Étape 6.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 6.3
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.4
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.4.1
Déplacez .
Étape 6.4.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.4.3
Soustrayez de .
Étape 6.5
Simplifiez .
Étape 6.6
Multipliez par .
Étape 6.7
Appliquez la propriété distributive.
Étape 6.8
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.9
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.9.1
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.9.2
Additionnez et .
Étape 6.10
Simplifiez .
Étape 7
Définissez égal à l’intégrale de .
Étape 8
Intégrez pour déterminer .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.1
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 8.2
Laissez . Puis . Réécrivez avec et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.2.1
Laissez . Déterminez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.2.1.1
Différenciez .
Étape 8.2.1.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 8.2.1.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 8.2.1.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 8.2.1.5
Additionnez et .
Étape 8.2.2
Réécrivez le problème en utilisant et .
Étape 8.3
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 8.4
Appliquez la règle de la constante.
Étape 8.5
Simplifiez
Étape 8.6
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 9
Comme l’intégrale de contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer par .
Étape 10
Définissez .
Étape 11
Déterminez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.1
Différenciez par rapport à .
Étape 11.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 11.3
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.3.1
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.3.1.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 11.3.1.2
Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que est =.
Étape 11.3.1.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 11.3.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 11.3.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 11.3.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 11.3.5
Additionnez et .
Étape 11.3.6
Multipliez par .
Étape 11.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 11.5
Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de est .
Étape 11.6
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.6.1
Additionnez et .
Étape 11.6.2
Remettez les termes dans l’ordre.
Étape 12
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 12.1
Déplacez tous les termes ne contenant pas du côté droit de l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 12.1.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 12.1.2
Associez les termes opposés dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 12.1.2.1
Soustrayez de .
Étape 12.1.2.2
Additionnez et .
Étape 13
Déterminez la primitive de afin de déterminer .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.1
Intégrez les deux côtés de .
Étape 13.2
Évaluez .
Étape 13.3
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 13.4
Selon la règle de puissance, l’intégrale de par rapport à est .
Étape 13.5
Simplifiez la réponse.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.5.1
Réécrivez comme .
Étape 13.5.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.5.2.1
Associez et .
Étape 13.5.2.2
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.5.2.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 13.5.2.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 13.5.2.3
Multipliez par .
Étape 14
Remplacez par dans .