Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x f (x) - 16 (f x)}{x^{17}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y - 16 (f x)}{x^{17}}$

Étape 2

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Étape 2.1.1

Divisez la fraction $\frac{x y - 16 (f x)}{x^{17}}$ en deux fractions.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{17}} + \frac{- 16 (f x)}{x^{17}}$

Étape 2.1.2

Soustrayez $\frac{x y}{x^{17}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} - \frac{x y}{x^{17}} = \frac{- 16 (f x)}{x^{17}}$

Étape 2.2

Réécrivez l’équation avec des coefficients isolés.

$\frac{d y}{d x} - \frac{x y}{x^{17}} = \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Étape 2.3

Factorisez $y$ à partir de $- \frac{x y}{x^{17}}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{x}{x^{17}}) = \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Étape 2.4

Remettez dans l’ordre $y$ et $- \frac{x}{x^{17}}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{x}{x^{17}} y = \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Étape 3

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - \frac{x}{x^{17}}$ .

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Étape 3.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - \frac{x}{x^{17}} d x}$

Étape 3.2

Intégrez $- \frac{x}{x^{17}}$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{17}$ .

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Étape 3.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$e^{\int - \frac{x^{1}}{x^{17}} d x}$

Étape 3.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$e^{\int - \frac{x \cdot 1}{x^{17}} d x}$

Étape 3.2.1.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{17}$ .

$e^{\int - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} d x}$

Étape 3.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$e^{\int - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} d x}$

Étape 3.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$e^{\int - \frac{1}{x^{16}} d x}$

Étape 3.2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{1}{x^{16}} d x}$

Étape 3.2.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.2.3.1

Retirez $x^{16}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$e^{- \int {(x^{16})}^{- 1} d x}$

Étape 3.2.3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{16})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{- \int x^{16 \cdot - 1} d x}$

Étape 3.2.3.2.2

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$e^{- \int x^{- 16} d x}$

Étape 3.2.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 16}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{15} x^{- 15}$ .

$e^{- (- \frac{1}{15} x^{- 15} + C)}$

Étape 3.2.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.2.5.1

Simplifiez

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Étape 3.2.5.1.1

Associez $x^{- 15}$ et $\frac{1}{15}$ .

$e^{- (- \frac{x^{- 15}}{15} + C)}$

Étape 3.2.5.1.2

Placez $x^{- 15}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{- (- \frac{1}{15 x^{15}} + C)}$

Étape 3.2.5.2

Simplifiez

$e^{- - \frac{1}{15 x^{15}} + C}$

Étape 3.2.5.3

Simplifiez

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Étape 3.2.5.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{1 \frac{1}{15 x^{15}} + C}$

Étape 3.2.5.3.2

Multipliez $\frac{1}{15 x^{15}}$ par $1$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}} + C}$

Étape 3.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$

Étape 4

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

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Étape 4.1

Multipliez chaque terme par $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (- \frac{x}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{17}$ .

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Étape 4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x^{1}}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Étape 4.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x \cdot 1}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Étape 4.2.2.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{17}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Étape 4.2.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Étape 4.2.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{1}{x^{16}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Étape 4.2.3

Associez $\frac{1}{x^{16}}$ et $y$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{y}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Étape 4.2.4

Associez $\frac{y}{x^{16}}$ et $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{17}$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $x$ à partir de $- 16 f x$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{x (- 16 f)}{x^{17}}$

Étape 4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{17}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{x (- 16 f)}{x \cdot x^{16}}$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{x (- 16 f)}{x \cdot x^{16}}$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f}{x^{16}}$

Étape 4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (- \frac{16 f}{x^{16}})$

Étape 4.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{16 f}{x^{16}}$

Étape 4.6

Associez $\frac{16 f}{x^{16}}$ et $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}}$

Étape 5

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y] = - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}}$

Étape 6

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y] d x = \int - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

Étape 7

Intégrez le côté gauche.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = \int - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

Étape 8

Intégrez le côté droit.

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Étape 8.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - \int \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

Étape 8.2

Comme $16 f$ est constant par rapport à $x$ , placez $16 f$ en dehors de l’intégrale.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - (16 f \int \frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x)$

Étape 8.3

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - 16 f \int \frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

Étape 8.4

Laissez $u = \frac{1}{15 x^{15}}$ . Alors $d u = - \frac{1}{x^{16}} d x$ , donc $- d u = \frac{1}{x^{16}} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.4.1

Laissez $u = \frac{1}{15 x^{15}}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 8.4.1.1

Différenciez $\frac{1}{15 x^{15}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{15 x^{15}}]$

Étape 8.4.1.2

Comme $\frac{1}{15}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{15 x^{15}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{15}}]$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{15}}]$

Étape 8.4.1.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 8.4.1.3.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{15}}$ comme ${(x^{15})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [{(x^{15})}^{- 1}]$

Étape 8.4.1.3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{15})}^{- 1}$ .

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Étape 8.4.1.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{15 \cdot - 1}]$

Étape 8.4.1.3.2.2

Multipliez $15$ par $- 1$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{- 15}]$

Étape 8.4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 15$ .

$\frac{1}{15} (- 15 x^{- 16})$

Étape 8.4.1.5

Simplifiez les termes.

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Étape 8.4.1.5.1

Associez $- 15$ et $\frac{1}{15}$ .

$\frac{- 15}{15} x^{- 16}$

Étape 8.4.1.5.2

Associez $\frac{- 15}{15}$ et $x^{- 16}$ .

$\frac{- 15 x^{- 16}}{15}$

Étape 8.4.1.5.3

Placez $x^{- 16}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 15}{15 x^{16}}$

Étape 8.4.1.5.4

Annulez le facteur commun à $- 15$ et $15$ .

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Étape 8.4.1.5.4.1

Factorisez $15$ à partir de $- 15$ .

$\frac{15 \cdot - 1}{15 x^{16}}$

Étape 8.4.1.5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.4.1.5.4.2.1

Factorisez $15$ à partir de $15 x^{16}$ .

$\frac{15 \cdot - 1}{15 (x^{16})}$

Étape 8.4.1.5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{15 \cdot - 1}{15 x^{16}}$

Étape 8.4.1.5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{x^{16}}$

Étape 8.4.1.5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{x^{16}}$

Étape 8.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - 16 f \int - e^{u} d u$

Étape 8.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - 16 f (- \int e^{u} d u)$

Étape 8.6

Multipliez $- 1$ par $- 16$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f \int e^{u} d u$

Étape 8.7

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f (e^{u} + C)$

Étape 8.8

Simplifiez

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{u} + C$

Étape 8.9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{15 x^{15}}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}} + C$

Étape 9

Divisez chaque terme dans $e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}} + C$ par $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}} + C$ par $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

$\frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

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Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

Étape 9.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

Étape 9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.1

Annulez le facteur commun de $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

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Étape 9.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

Étape 9.3.1.2

Divisez $16 f$ par $1$ .

$y = 16 f + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$