Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y + x^{2} y}{x - 4 x y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez $y$ à partir de $3 y + x^{2} y$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $3 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 3 + x^{2} y}{x - 4 x y}$

Étape 1.1.2

Factorisez $y$ à partir de $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 3 + y x^{2}}{x - 4 x y}$

Étape 1.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 3 + y x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (3 + x^{2})}{x - 4 x y}$

Étape 1.1.4

Multipliez $y$ par $3 + x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x - 4 x y}$

Étape 1.2

Factorisez $x$ à partir de $x - 4 x y$ .

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Étape 1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x^{1} - 4 x y}$

Étape 1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x \cdot 1 - 4 x y}$

Étape 1.2.3

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x \cdot 1 + x (- 4 y)}$

Étape 1.2.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (- 4 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x \cdot (1 - 4 y)}$

Étape 1.2.5

Multipliez $x$ par $1 - 4 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x (1 - 4 y)}$

Étape 1.3

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 - 4 y} \cdot \frac{3 + x^{2}}{x}$

Étape 1.4

Multipliez les deux côtés par $\frac{1 - 4 y}{y}$ .

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 4 y}{y} (\frac{y}{1 - 4 y} \cdot \frac{3 + x^{2}}{x})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $\frac{y}{1 - 4 y}$ par $\frac{3 + x^{2}}{x}$ .

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 4 y}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{(1 - 4 y) x}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun de $1 - 4 y$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $1 - 4 y$ à partir de $(1 - 4 y) x$ .

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 4 y}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{(1 - 4 y) (x)}$

Étape 1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 4 y}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{(1 - 4 y) x}$

Étape 1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{x}$

Étape 1.5.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{x}$

Étape 1.5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{3 + x^{2}}{x}$

Étape 1.6

Réécrivez l’équation.

$\frac{1 - 4 y}{y} d y = \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1 - 4 y}{y} d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- 4 y}{y} d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Étape 2.2.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- 4 y}{y} d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Étape 2.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- 4 y}{y} d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Étape 2.2.3.2

Divisez $- 4$ par $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 4 d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 4 d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Étape 2.2.5

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} - 4 y + C_{2} = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$\ln (| y |) - 4 y + C_{3} = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Étape 2.2.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} + \frac{x^{2}}{x} d x$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x^{2}}{x} d x$

Étape 2.3.3

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 2.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x} d x$

Étape 2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x$

Étape 2.3.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x$

Étape 2.3.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x$

Étape 2.3.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x}{1} d x$

Étape 2.3.3.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int x d x$

Étape 2.3.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = 3 \int \frac{1}{x} d x + \int x d x$

Étape 2.3.5

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = 3 (\ln (| x |) + C_{4}) + \int x d x$

Étape 2.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = 3 (\ln (| x |) + C_{4}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

Étape 2.3.7

Simplifiez

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = 3 \ln (| x |) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{6}$

Étape 2.3.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + 3 \ln (| x |) + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- 4 y + \ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} + 3 \ln (| x |) + C$