Calcul infinitésimal Exemples

$4 x^{2} + 5 y \frac{d y}{d x} = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Soustrayez $4 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$5 y \frac{d y}{d x} = - 4 x^{2}$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $5 y \frac{d y}{d x} = - 4 x^{2}$ par $5 y$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $5 y \frac{d y}{d x} = - 4 x^{2}$ par $5 y$ .

$\frac{5 y \frac{d y}{d x}}{5 y} = \frac{- 4 x^{2}}{5 y}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 y \frac{d y}{d x}}{5 y} = \frac{- 4 x^{2}}{5 y}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 4 x^{2}}{5 y}$

Étape 1.1.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 4 x^{2}}{5 y}$

Étape 1.1.2.2.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x^{2}}{5 y}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x^{2}}{5 y}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{4 x^{2}}{5 y})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{4 x^{2}}{5 y}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x^{2}}{5 y}$

Étape 1.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $5 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x^{2}}{y \cdot 5}$

Étape 1.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x^{2}}{y \cdot 5}$

Étape 1.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{4 x^{2}}{5}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$y d y = - \frac{4 x^{2}}{5} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int - \frac{4 x^{2}}{5} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{4 x^{2}}{5} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{4 x^{2}}{5} d x$

Étape 2.3.2

Comme $\frac{4}{5}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{4}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{4}{5} \int x^{2} d x)$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{5} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez $- \frac{4}{5} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ comme $- \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2

Simplifiez

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Étape 2.3.4.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{4}{5}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{3 \cdot 5} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{15} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{4}{15} x^{3} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{4}{15} x^{3} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{4}{15} x^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{4}{15} x^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (- \frac{4}{15} x^{3} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (- \frac{4}{15} x^{3} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1.1

Associez $x^{3}$ et $\frac{4}{15}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{3} \cdot 4}{15} + K)$

Étape 3.2.2.1.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $x^{3}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{4 x^{3}}{15} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 (- \frac{4 x^{3}}{15}) + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $2 (- \frac{4 x^{3}}{15})$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y^{2} = - 2 \frac{4 x^{3}}{15} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Associez $- 2$ et $\frac{4 x^{3}}{15}$ .

$y^{2} = \frac{- 2 (4 x^{3})}{15} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.3

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$y^{2} = \frac{- 8 x^{3}}{15} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = - \frac{8 x^{3}}{15} + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- \frac{8 x^{3}}{15} + 2 K}$

Étape 3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{8 x^{3}}{15} + 2 K}$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- \frac{8 x^{3}}{15} + 2 K$ .

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Étape 3.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- \frac{8 x^{3}}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{4 x^{3}}{15}) + 2 K}$

Étape 3.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{4 x^{3}}{15}) + 2 K}$

Étape 3.4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- \frac{4 x^{3}}{15}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{4 x^{3}}{15} + K)}$

Étape 3.4.2

Pour écrire $K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{15}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{4 x^{3}}{15} + K \cdot \frac{15}{15})}$

Étape 3.4.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.4.3.1

Associez $K$ et $\frac{15}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{4 x^{3}}{15} + \frac{K \cdot 15}{15})}$

Étape 3.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 4 x^{3} + K \cdot 15}{15}}$

Étape 3.4.4

Déplacez $15$ à gauche de $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 4 x^{3} + 15 K}{15}}$

Étape 3.4.5

Associez $2$ et $\frac{- 4 x^{3} + 15 K}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- 4 x^{3} + 15 K)}{15}}$

Étape 3.4.6

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 (- 4 x^{3} + 15 K)}{15}}$ comme $\frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{\sqrt{15}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{\sqrt{15}}$

Étape 3.4.7

Multipliez $\frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{\sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$

Étape 3.4.8

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.8.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{\sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Étape 3.4.8.2

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15}}$

Étape 3.4.8.3

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1}}$

Étape 3.4.8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Étape 3.4.8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

Étape 3.4.8.6

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{2}$ comme $15$ .

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Étape 3.4.8.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.4.8.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.4.8.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.8.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.8.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.8.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{15^{1}}$

Étape 3.4.8.6.5

Évaluez l’exposant.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{15}$

Étape 3.4.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.9.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K) \cdot 15}}{15}$

Étape 3.4.9.2

Multipliez $15$ par $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

$y = \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

$y = \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + K)}}{15}$